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title: 一卷三错题，载入屎厕！2026高二广东四校滚木考数学简析（一）
createTime: 2026/7/7
categories: [study]
tags: [maths]
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先炮轰三道错题。为了避免断章取义，我将打出整题。语言不甚得体，因为**被加灌粪便，心中颇为不悦**，无法修饰。

:::problem 8
实数 $a,b$ 满足 $b>0,a>0$，且 $\dfrac{1}{\mathrm{e}^a-1}+2\ln(b+1)=a+\dfrac{1}{b}$，则

A. $\mathrm{e}^a>b+1$  
B. $\mathrm{e}^a<b+1$  
C. $b>\ln(a+1)$  
D. $b<\ln(a+1)$
:::

乍看有“到处乱构”的风味，但是不等号能提示到它不需要把两边化为同形，所以可以分离变量。

对 A,B 选项左右分别换元 $L=\mathrm{e}^a, R=b+1$，得到

$$
\frac{1}{L-1} - \ln L = \frac{1}{R-1} - 2 \ln R
$$

根据 $L,R>1$，结合单调性即可判断。

至于 C,D，换不出个所以然来，但是事实上有

:::lemma 不等式
$$
\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}-x<\frac{1}{x}-2\ln\left(x+1\right)
$$
:::

:::proof
设

$$
\varphi(x) = (x^2-6x+12)\mathrm{e}^x - (x^2+6x+12)
$$

我们有
$$
\begin{align*}
  \varphi'(x) &= e^x(x^2 - 4x + 6) - 2(x+3) \\
  \varphi''(x) &= e^x(x^2 - 2x + 2) - 2 \\
  \varphi'''(x) &= e^x \cdot x^2 > 0  \\
  \varphi(0) &= \varphi'(0) = \varphi''(0) = 0
\end{align*}
$$

从而 $x>0$ 时 $\varphi(x)>0$，于是

$$
\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{x}-x \lt \frac{1}{\tfrac{x^2+6x+12}{x^2-6x+12}-1}-\frac{1}{x}-x = -\frac{11}{12}x-\frac{1}{2}\lt -2\ln\left(x+1\right)
$$

当然，这事实上利用了 $\mathrm{e}^x$ 在 $0$ 处的 2,2 阶帕德逼近或者 $\displaystyle\lim_{t\to x}\dfrac{1}{\mathrm{e}^{t}-1}-\dfrac{1}{t}$ 的 1 阶泰勒展开。
:::

这个证明是艰难的，但并不影响它的正确性。因此我不会**沉默**。

结合单调性，给出 $b>a>\ln(a+1)$。

因此该题应该多选 **AC**。

高中生看不出来是正常的。但命题人连用 GGB 检查一下都懒得搞吗？

:::problem 19
已知函数 $f(x)=x\ln x-x$.

(1) 求 $y=f(x)$ 在 $x=x_0 \ (x_0>0)$ 处的切线方程；

(2) 已知 $a,b\in\mathbb{R}$，曲线 $y=f(x)$ 上两点 $(x_1,f(x_1)), (x_2,f(x_2))\ (x_1<x_2)$ 处的切线都经过点 $a,b$，证明：

(i) $a>0$，且 $b<f(a)$；  
(ii) 若 $b<-1$，当 $\dfrac{x_2}{x_1}$ 取得最小值时，求 $a+b$ 的值.
:::

直接看 (2)(ii)。固定 $a$，不难发现 $b$ 越大，$\dfrac{x_2}{x_1}$ 越小……然后呢？没有然后了，$b$ 的范围是 $(-\infty,\min\{-1, f(a)\})$，没有最大值！

那是为什么呢？嘻！因为命题人脑子里的东西是：**给定 $b<-1$**！

**建议所有数学命题人有不低于小学水平的语文和不低于高中水平的逻辑学。**

<!-- 我错了，我不应该鸽掉《数学语言学》。你看，报应来了。 -->

:::problem 14
在世界杯期间，有 $3$ 种不同的纪念品：纪念品 A（大力神杯模型）、纪念品 B（官方用球）、纪念品 C（官方吉祥物）. 甲、乙、丙三位球迷独立随机地选择纪念品，对于每个人来说，每种纪念品选与不选都是等可能的. 则至少有一种纪念品被甲、乙、丙三人都选中的概率为	
:::

虽然隐蔽，但这事实上也是错题。题目只说了各个人的选择相互独立，没说一个人选不同的纪念品相互独立。

数学应是严谨的。如果想“默认”，必须给出明确的约定（数学界/课本/试卷中），才能在后文“默认”。

不过经过这么长时间的概率题的洗礼，考生们已经习得如何与命题人心意相通了，所以并没有什么阻碍。也不知是可喜还是可悲。

还好多选题没错题，不然就大满贯了。