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ATTIII-solution-2.md

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title: 注意力测试 Ⅲ P2 解答
createTime: 2026/4/2
categories:
  - study
tags:
  - maths
  - FFMP
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*我们证明了所有函数都是幂函数, 并将论文投稿到了 SHIT 期刊上.*

:::problem
若实数 $\alpha$ 满足
$$\exists x \in (1,+\infty), x^{\alpha} = (\ln x) \ln (\ln x) - \ln x + \frac{3}{\mathrm{e}}$$
求 $\alpha$ 的取值范围
:::

令 $t = \ln x\ (t \in (0,+\infty)), \varphi(t) = t \ln t - t + \dfrac{3}{\mathrm{e}} - \mathrm{e}^{\alpha t}$，

**情形 1** 当 $\alpha > -\mathrm{e}$ 时

- 令 $t\to 0$，则 $\varphi(t) \to \dfrac{3}{\mathrm{e}} - 1 > 0$；（此处的极限可以用找点代替）
- 令 $t=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，则 $\varphi(t) = \mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{\alpha/\mathrm{e}} < 0$。
  
由零点存在性定理可知符合题意。

**情形 2** 当 $\alpha = -\mathrm{e}$ 时

有 $\varphi'(t) = \ln t + \mathrm{e}^{1-\mathrm{e}t}, \varphi''(t) = \dfrac{1}{t} - \dfrac{\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}^{\mathrm{e}t}} > \dfrac{1}{t}-\dfrac{\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}(\mathrm{e}t)} = 0$，

因为 $\varphi'\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right) = 0$，所以 $\varphi(t) \ge \varphi\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right) = 0$。

**情形 3** 当 $\alpha < -\mathrm{e}$ 时

$$x^\alpha < x^{-\mathrm{e}} \le \mathrm{RHS}$$

因此 $\alpha$ 的取值范围为 $[-\mathrm{e}, +\infty)$。