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FFMP-Ex5-solution-2.md

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title: 题解：拾起砂糖的祭典（FFMP Ex5 20250313）
createTime: 2026/3/13
categories:
    - study
tags:
    - maths
    - FFMP
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恰好一年之后喜提加强。

之前的过程见[这里](FFMP-Ex5-solution)，我们已经证明了 $p \le \dfrac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n} k^{2k}}{n^{n^2}}$，下面主要来证明

$$
p \le \frac{\sqrt{n^n}}{2} \exp\left( 1-\frac{n^2}{4} \right)
$$

- $n=1$ 时，$p \le 1 < \dfrac{\mathrm{e}^{3/4}}{2} = \dfrac{\sqrt{n^n}}{2} \exp\left( 1-\dfrac{n^2}{4} \right)$，这是因为 $\mathrm{e}^3 > \left( \dfrac{8}{3} \right)^3 = \dfrac{512}{27} > \dfrac{512}{32} = 16$；
- $n=2$ 时，$p \le 1 = \dfrac{\sqrt{n^n}}{2} \exp\left( 1-\dfrac{n^2}{4} \right)$。

对于 $n\ge 3$ 的情形，可由 $n=2$ 情形递推证明如下：

两边取对数，即证

$$
2\sum_{k=1}^{n} k\ln k \le n^2 \ln n + n \ln n - \frac{n^2}{4} + 1 - \ln 2
$$

不难发现 $\mathrm{LHS}|_{n=2} \le \mathrm{RHS}|_{n=2}$，两边差分，只需证 $n\ge 3$ 时

$$
2 n \ln n \le n^2 \ln n + n \ln n - \frac{n^2}{4} - (n-1)^2 \ln (n-1) - (n-1) \ln (n-1) + \frac{(n-1)^2}{4}
$$

两边作差，设

$$
n^{2}\ln n-n\ln n-\frac{n^{2}}{4}-(n-1)^{2}\ln(n-1)-(n-1)\ln(n-1)+\frac{(n-1)^{2}}{4}
$$

暴力展开后合并同类项，即为

$$
\begin{align*}
&\mathrel{\phantom{=}} n^{2}\ln\frac{n}{n-1}+n\ln\frac{n-1}{n}+\frac{1-2n}{4} \\
&\le n^{2}\left(1-\frac{n-1}{n}\right)+n\left(1-\frac{n}{n-1}\right)+\frac{1-2n}{4} \\
&= \frac{n}{2}-\frac{1}{n-1}-\frac{3}{4}
\end{align*}
$$

是在 $[3,+\infty)$ 单调递增的，而 $\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} > 0$，即证。