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title: 用复数研究正弦式交变电流
createTime: 2026/3/10
categories:
  - study
tags:
  - physics
  - study-note
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:::warning
以下我们用 $\mathrm{j}$ 而不是 $\mathrm{i}$ 表示虚数单位，避免与电流 $i$ 混淆。
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## 用复数表示正弦式交变电流

根据欧拉公式

$$
\mathrm{e}^{\mathrm{j}x} = \cos x + \mathrm{j} \sin x
$$

满足 $i = \sqrt{2}I \cos(\omega t + \varphi)$ 的交变电流恰好是复数 $\sqrt{2}I \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)}$ 的实部。于是，我们可以用 $\sqrt{2}I \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)}$ 来表示这样的交变电流。

### 复导数

在电容、电感的公式中存在导数（$i=q', e=Li'$）。如果引入复数，就有

$$
i' = \left[\sqrt{2}I \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)}\right]' = \sqrt{2}I \mathrm{j}\omega\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)} = \mathrm{j}\omega i
$$

要求导只需乘一个 $\mathrm{j}\omega$，非常方便。

## 相量

正如课本中的有效电流，我们希望用一个与时间无关的量来表示复电流。在我们研究的简化问题中，$\omega$ 一般是固定的，于是我们用

$$
\dot{I} = I\mathrm{e}^{i\varphi}
$$

来表示交变电流。这被称作交变电流的**相量**。

## 复阻抗

### 电感

在理想的电感中

$$
u = e = Li'
$$

用相量表示即为

$$
\dot{U} = L \cdot \mathrm{j}\omega\dot{I}
$$

不难发现电压相量与电流相量之比为一个常数

$$
\frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \mathrm{j}\omega L
$$

这被称作电感的**阻抗**，记作 $Z$。

### 电容

同样地，根据 $i=q'=Cu'$ 有

$$
\dot{I} = C \cdot \mathrm{j}\omega\dot{U} \implies Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{1}{\mathrm{j}\omega C} = -\frac{\mathrm{j}}{\omega C}
$$

### 复阻抗的意义

根据复数除法模长相除、辐角相减的几何意义，可以推知 $Z = R\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta}$ 的意义是电流是电压的 $\dfrac{1}{R}$，且比电压落后 $\theta$ 的相位。就这样，我们用一个复数同时表示了元件对电流的阻碍和推迟。

## 复阻抗的串并联规律

由于复数的四则运算规律与实数一致，复阻抗的串并联规律也与实电阻一致。

- 串联：$Z = Z_1 + Z_2$
- 并联：$Z = \dfrac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}$

### 例：LC 振荡电路

没有外部电源，也就是说

$$
\dot{U} = \dot{I}Z = \dot{I}\left(\mathrm{j}\omega L - \frac{\mathrm{j}}{\omega C}\right) = 0
$$

即 $\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0$，解得 $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$。

## 复功率

若电压和电流的相位差为 $\Delta\varphi$，可以根据积化和差公式计算功率：

$$
\begin{align*}
ui &= \sqrt{2}U\cos(\omega t+\Delta\varphi) \cdot \sqrt{2}I\cos(\omega t) \\
&= UI\bigl( \cos(2\omega t+\Delta\varphi) + \cos\Delta\varphi \bigr)
\end{align*}
$$

可以看到，$\cos(2\omega t+\Delta\varphi)$ 在时间上的均值为 $0$，于是平均功率

$$
P = UI \cos\Delta\varphi
$$

设 $\dot{I}^*$ 是 $\dot{I}$ 的共轭，考虑 $\dot{U}\dot{I}^*$ 的值：

$$
\dot{U}\dot{I}^* = U\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_1} \cdot I\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi_2} = UI \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Delta\varphi}
$$

设 $\dot{U}\dot{I}^* = P+\mathrm{j}Q$，可以看见实部 $P$ 恰好就是平均功率。

考虑 $ui$ 的范围 $\left[P - \sqrt{P^2+Q^2}, P + \sqrt{P^2+Q^2}\right]$，可以发现 $Q$ 控制了振荡部分的大小。于是我们把 $P$ 称作**有功功率**，$Q$ 称作**无功功率**。