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draw-line-bisecting-area-and-perimeter-of-triangle.md

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title: 作一条直线同时平分三角形的面积和周长
createTime: 2026/3/18
categories:
    - study
tags:
    - maths
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![](draw-line-bisecting-area-and-perimeter-of-triangle/figure.svg)
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1. 作出内心 $I$ 和重心 $G$，M 是 AC 中点，J 是 B 平分线与 AC 的交点。旋转图形，确保 $I$ 在阴影区域内。 {style="color:green;"}
2. 作 $AI$ 中垂线交 $AC$ 于 $K$，在 $AB$ 上取 $N$，使 $AN=AM$，作 $BNK$ 的外接圆交 $AC$ 于 $S$。 {style="color:#44f;"}
3. 以 $AS$ 和 $BN$ 的中垂线交点 $O$ 为圆心，$OB$ 为半径作圆交**线段** $JC$ 于 $X$，$IX$ 即为所求。 {style="color:red;"}

## 正确性

设 $\odot O$ 与**直线** $JC$ 的交点为 $X_1,X_2$，显然 $AX_1+AX_2=AS$，

由圆幂定理

$$
AX_1 \cdot AX_2 = AB \cdot AN = AK \cdot AS = AK(AX_1+AX_2)
$$

在 $AB$ 上截取 $AX_3=AX_2, AK_2=AK$，有

$$
\frac{AK}{AX_1} + \frac{AK_2}{AX_3} = 1
$$

于是 $X_1, I, X_3$ 共线，而 $AX_1 \cdot AX_3 = AB \cdot AN = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC$，平分面积得证。

设外接圆半径为 $r$，由 $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} r C_{\triangle ABC}, S_{\triangle AX_1X_2} = \dfrac{1}{2} (AX_1+AX_3)$ 得 $AX_1+AX_3 = \dfrac{1}{2}C_{\triangle ABC}$，平分周长得证。

## 可行性

易知平分 $\triangle ABC$ 的直线包络一个双曲边三角形，过阴影中的点一定可以向对应边作切线。