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title: 圆锥曲线之对偶圆锥曲线与锥线-直线位置关系
createTime: 2026/3/3
categories:
  - study
tags:
  - maths
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挖出了一种处理锥线-直线位置关系的新方法。

## 对偶圆锥曲线

对于一条圆锥曲线 $\Gamma$ 和基准圆锥曲线 $C$（一般取单位圆 $x^2+y^2=z^2$），$\Gamma$ 上的点关于 $C$ 的极线的包络 $\Gamma'$ 仍为圆锥曲线，称为 $\Gamma$ 的对偶圆锥曲线。

对于一个点 $P$ 和它关于 $C$ 的极线 $l$，根据点线对偶的规律，我们可以证明 $P\text{-}\Gamma$ 和 $l\text{-}\Gamma'$ 的位置关系一致。

:::definition
“内”对应的位置关系和焦点 / 准线一致。
:::

## 单位圆对偶

取 $C: x^2+y^2=z^2$，则 $A x^2 + C y^2 + F z^2 = 0$ 的对偶圆锥曲线为 $\dfrac{1}{A} x^2 + \dfrac{1}{C} y^2 + \dfrac{1}{F} z^2 = 0$。

选取单位圆的好处不光是对偶圆锥曲线形式好记，而且齐次坐标为 $[X,Y,Z]$ 的点 $\left(\dfrac{X}{Z}, \dfrac{Y}{Z}\right)$ 的对偶刚好是齐次坐标一致的直线 （$Xx + Yy + Z = 0$）。

## 等效判别式

$\Delta' = \dfrac{1}{A} X^2 + \dfrac{1}{C} Y^2 + \dfrac{1}{F} Z^2$ 也叫 $A x^2 + C y^2 + F = 0$ 的等效判别式，因为它可以判定圆锥曲线与 $Xx + Yy + Z = 0$ 的位置关系。

以下是证明：

:::proof 证明（高中方法）
将 $Xx + Yy + Z = 0$ 与 $A x^2 + C y^2 + F = 0$ 联立并消去 $y$，得到

$$
A x^2 Y^2 + C \left(Z + Xx\right)^2 + F Y^2 = 0 \Longrightarrow \\

(AY^2 + CX^2) x^2 + 2CZXx + CZ^2+FY^2=0
$$

于是

$$
\begin{align*}
  \Delta &= 4(CZX)^2 - 4(AY^2 + CX^2)(CZ^2+FY^2) \\
  &= -4(ACY^2Z^2 + CFX^2Y^2 + AFY^4) \\
  &= -4ACFY^2 \left( \dfrac{1}{A} X^2 + \dfrac{1}{C} Y^2 + \dfrac{1}{F} Z^2 \right)
\end{align*}
$$
:::

在同一条圆锥曲线中，$\Delta\Delta'$ 的符号总是一致的，至于是正是负，可以通过计算，也可以回到圆锥曲线的“内外”的意义来确定。