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existence-of-four-concyclic-points-on-curve.md

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title: 任意连续、不自交的闭合或两端无界的非直线曲线上必有四点共圆
createTime: 2026/2/25
categories:
  - study
tags:
  - maths
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一个集合只要不是直线的子集，一定能找到不共线的三点。过这三点作一个圆，圆心记作 $O$，半径记作 $r$。

三种情况：

1. **圆和曲线的交点有聚点**  
   此时圆和曲线一定有无穷个交点。
2. **三个点中有 $1$ 或 $3$ 个圆和曲线的变号交点**  
   （交点无聚点时，所有交点都能分为变号交点和不变号交点）  
   由曲线闭合或两端无界可知圆和该曲线一定有偶数个变号交点。于是圆和该曲线还有一个交点。
3. **三个点中有 $2$ 个圆和曲线的变号交点**  
   此时有 $1$ 个不变号交点。若是外不变号交点，则将半径调整为 $r+\varepsilon$（其中 $\varepsilon$ 是一个充分小的正数）；否则调整为 $r+\varepsilon$。