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title: 低观点下的高等数学之搞笑放缩定理
createTime: 2026/2/18
categories:
  - study
tags:
  - maths
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## 定理描述及证明

:::theorem
若正项数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $\{A_n\}, \{B_n\}$ 和实数 $A,B$ 满足 $A_n<A, B_n<B$，则对于任意 $M>A$ 存在 $N$ 使得

$$
S_n = \sum_{k=1}^{n}
\begin{cases}
a_k, & k \le N, \\
b_k, & k > N.
\end{cases}
$$

满足 $S_n<M$ 恒成立。
:::

:::proof
先证对于任意 $\varepsilon>0$，存在自然数 $N$ 使得对于任意 $n > N$ 有 $B_N - B_n < \varepsilon$：

反证法，假设其不成立，即存在 $\varepsilon>0$ 满足 $\forall N \in \mathbb{N}, \exists n>N, B_n-B_N \ge \varepsilon$，则可以找出 $i_1<i_2<i_3 < \cdots$ 使得 $i_{k+1} - i_{k} \ge \varepsilon$，此时只需取 $k \ge \dfrac{B}{\varepsilon}$ 即有 $B_{i_{k+1}} - B_{i_1} \ge k\varepsilon \ge B$，矛盾。

回到原题，令 $\varepsilon=M-A>0$，存在 $N$ 使得 $S_n = A_n - (A_n-A_N) + (B_n-B_N) < A_n + \varepsilon < M$（显然只需讨论 $n>N$ 的情形），证毕！
:::

## 使用例

### 例 1

:::problem 例
$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3}
$$
:::

正经的做法，无非是调分母，凑裂项：

:::solution 正经做法
$$
\begin{align*}
\frac{1}{k^3} &< \frac{1}{(k-1)k(k+1)} \\
&= \frac{1}{2(k-1)} - \frac{1}{k} + \frac{1}{2(k+1)} \\
&= \frac{1}{2(k-1)k} - \frac{1}{2k(k+1)} \\
\Longrightarrow \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} &< 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} \\
&= 1+ \dfrac{1}{2 \times (2-1) \times 2} - \frac{1}{2n(n+1)} \\
&< \frac{5}{4}
\end{align*}
$$
:::

为了达成搞笑的目的，让我们使用 $\dfrac{1}{k^3} \le \dfrac{2}{k(k+1)}$ 的<span style="font-size: xx-large">巨</span>缝放缩证明 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^3} < \dfrac{3}{2}$：

$$
\sum_{k=1}^{6} \dfrac{1}{k^3} + \sum_{k=7}^{n} \left(\dfrac{2}{k} - \dfrac{2}{k+1}\right) < \sum_{k=1}^{6} \dfrac{1}{k^3} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{247969}{168000} < \dfrac{252000}{168000} = \dfrac{3}{2}
$$

为什么不证 $\dfrac{5}{4}$ 呢？因为你将见识到地狱：

$$
\sum_{k=1}^{41} \dfrac{1}{k^3} + \sum_{k=42}^{n} \left(\dfrac{2}{k} - \dfrac{2}{k+1}\right) < \sum_{k=1}^{41} \dfrac{1}{k^3} + \dfrac{2}{42} = \\

{\small\frac{13133694216828323993462268977518966348615117433923417}{
10512121660702378405316004964483761080879190528000000}
}
< \frac{5}{4}
$$

### 例 2

在 [GooodPig](//gooodpig.pages.dev) 的强烈要求下，我们加入了第二个例子（但是暴力做法要估计的项数比他给的标答少？）

:::problem 例（来自 GooodPig 的钓鱼试卷 P9）

设 $\tau(n)$ 为 $n$ 正因子的个数，证明
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\tau(k)}{2^k} < 1.61$$
:::

直接放缩占据大脑，爆算代替思考。磨平大脑地，有 $\tau(k) \le k$，

熟知 $\displaystyle\sum_{k=N+1}^{n} \dfrac{k}{2^k} = \dfrac{N+2}{2^N} - \dfrac{n+2}{2^n} < \dfrac{N+2}{2^N}$，又注意到
$$
\sum_{k=1}^{12} \frac{\tau(k)}{2^k} + \frac{12+2}{2^{12}} = \frac{1
03}{64} < 1.61
$$

居然意外好看。