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title: "(2n+1) 局 (n+1) 胜，赛越多场胜率越悬殊"
createTime: 2026/5/8
categories:
  - study
tags:
  - maths
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## 问题

两人比赛，每场比赛无平局，各场比赛独立且概率相等。不妨设甲强于乙，甲单场胜率为 $p > \dfrac{1}{2}$。

在课本中，我们算得五局三胜中，甲的胜率比三局两胜更大。更一般地，若采用 $(2n+1)$ 局 $(n+1)$ 胜制，甲的胜率是否是否会随 $n$ 递增？

:::problem
随机变量 $X_n \sim B(n,p),\ p\in\left(\dfrac{1}{2},1\right]$，证明 $\{p_n\}: p_n=P(X_{2n+1}\ge n+1)$ 单调递增。
:::

## 证明

:::proof
显然 $P(S_{2n+1}=1) = p^{n+1}(1-p)^n\mathrm{C}_{2n+1}^{n}, P(S_{2n+1}=-1) = p^{n}(1-p)^{n+1}\mathrm{C}_{2n+1}^{n+1}$，

设 $Y_n \sim B(2,p)$，可知 $X_{2n+1} = X_{2n-1}+Y_n$ 根据全概率公式有递推式

$$
\begin{align*}
p_n &= P(X_{2n+1} \ge n+1) \\
&= P(X_{2n-1} \ge n+2) + P(S_{2n-1}=n+1) P(Y_n\ge 1) + P(S_{2n-1}=n)P(Y_n=0) \\
\end{align*}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
  p_n-p_{n-1}
  &= P(S_{2n-1}=-1)P(Y_n>0) - P(S_{2n-1}=1) P(Y_n<0) \\
  &= p^{n+2}(1-p)^{n+1}\mathrm{C}_{2n+1}^{n} - p^{n+1}(1-p)^{n+2}\mathrm{C}_{2n+1}^{n+1} \\
  &= (2p-1) p^{n+1}(1-p)^{n+1}\mathrm{C}_{2n+1}^{n} > 0
\end{aligned}
$$
:::

## 推广

既然 $\{p_n\}$ 单调递增，又 $\{p_n\}$ 有界，可知 $\{p_n\}$ 收敛。那么，它收敛于何值？

直观上，根据大数定律，$n$ 充分大的时候，比赛 $(2n+1)$ 场的获胜场数集中于 $p(2n+1)$ 附近，而它与 $n+1$ 的差距随 $n$ 无限增大，可以猜想 $n\to+\infty$ 时 $p_n \to 1$。

为了严谨、定量地描述大数定律，我们给出切比雪夫不等式：

:::theorem 切比雪夫不等式
已知 $X$ 为随机变量，且 $k>0$，则有

$$
\operatorname{P}(|X-\operatorname{E}X| \ge k) \le \frac{\operatorname{D}(X)}{k^2}
$$
:::

:::proof
$$
\begin{align*}
  \operatorname{P}(|X-\operatorname{E}X| \ge k) &= \sum_{i\in\Omega} \begin{cases}
    p_i, & (x_i-\operatorname{E}X)^2 \ge k^2, \\
    0, & \text{otherwise}
  \end{cases} \\
  &\le \sum_{i\in\Omega} \frac{p_i (x_i-\operatorname{E}X)^2}{k^2} \\
  &= \frac{\operatorname{D}(X)}{k^2}
\end{align*}
$$
:::

回到原题，我们有

$$
\begin{align*}
  P(X_{2n+1} \le n) &\le P(|X_{2n+1}-\operatorname{E}X_{2n+1}|\ge \operatorname{E}X_{2n+1}-n) \\
  &\le \frac{\operatorname{D}(X_{2n+1})}{(\operatorname{E}X_{2n+1}-n)^2} \\
  &= \frac{(2n+1)p(1-p)}{((2n+1)p-n)^2} \\
  &= O(n^{-1}) \xrightarrow{n \to +\infty} 0
\end{align*}
$$

由夹逼定理，$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}1-p_n=0$，从而 $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=1$。

:::right
$\square$
:::