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reflection-inclusion-exclusion.md

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title: 反射容斥结论
createTime: 2026/5/6
categories:
  - study
tags:
  - maths
  - OI
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:::theorem
同时满足两条性质

- $\{a_n\}$ 恰好包含 $p$ 个 $1$ 和 $q$ 个 $-1$；
- $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $\{S_n\}$ 的每一项都落在 $(-b,a)$ 内。

的数列的个数为

$$
\sum_{k \in \mathbb{Z}} \Bigl[ \mathrm{C}_{p+q}^{p+k(a+b)} - \mathrm{C}_{p+q}^{p-a+k(a+b)} \Bigr]
$$

或者

$$
\sum_{k=0}^{a+b-1} \left(1+\omega^k\right)^{p+q} \left(\omega^{k(a+b-p)}-\omega^{k(2a+b-p)}\right), \quad \omega=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/(a+b)}
$$
:::

证明见[此](https://www.luogu.com.cn/article/oxtgsdcn)，此处只是介绍一个 $a+b$ 较小时更好的形式。