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title: 几何与统计的奇妙碰撞——正四面体经典题目的优美结论及其高维推广
createTime: 2026/5/9
categories:
  - study
tags:
  - maths
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## 引入

有一经典的网红题（无贬义），大意是：

:::problem 题目大意
给定四个平行平面，给出平面之间的距离。有一正四面体的四个顶点分别在四个平面上，求正四面体的棱长。
:::

学习平面向量时大概还会看见一道经典题目，如下：

:::problem 题目大意
证明正三角形顶点到任一过中心直线的距离平方和为定值。
:::

我们之后会见到，这两个问题的结论其实是同一个命题在三维和二维的特例。

## 问题抽象

这两个问题的做法繁多，对结论稍加整理，可以得出这一个优美的命题：

:::lemma 命题
已知棱长为 $a$ 的 $n$ 维正单形在某正交坐标系下 $(n+1)$ 个顶点的某个坐标分量分别为 $x_0,x_1,\dots,x_n$，则

$$
a^2 =
2(n+1)\sigma^2\{x_i\}
$$

其中 $\sigma^2\{x_i\}$ 代表 $x_0,x_1,\dots,x_n$ 的方差。
:::

:::definition 定义（正单形）
$n$ 维正单形是指 $n$ 维空间中 $(n+1)$ 个顶点组成的图形，且任意两个顶点的距离都相等。称这个距离为正单形的棱长。
:::

## 数学工具

### 重心坐标

顶点为 $V_0, V_1, \dots V_n$ 的 $n$ 维正单形有如下性质：

:::lemma 性质
对于互不相等的 $i,j,k$ 有 $\angle V_iV_jV_k = \dfrac{\pi}{3}$。
:::

这是因为三个不同的顶点必定组成正三角形。

以 $V_0$ 为原点，选择 $\mathbf{e}_i = \dfrac{1}{a}\overrightarrow{V_0V_i},\ i=1,\dots,n-1$ 作为基底，建立一个仿射坐标系。

根据上面的性质，有 $\mathbf{e}_i^2=1, \mathbf{e}_i\mathbf{e}_j=\dfrac{1}{2} (i\ne j)$。

### 等角坐标系的性质

在这组基底下，由于基向量的长度和两两角度全部相等，可以推导出如下点积公式：

:::lemma 点积公式
在 $\mathbf{e}_i^2=1, \mathbf{e}_i\mathbf{e}_j=c\ (i\ne j)$ 的基底下，

$\displaystyle \mathbf{x}=\sum_{i=1}^{n} x_i\mathbf{e}_i, \mathbf{y}=\sum_{i=1}^{n} y_i\mathbf{e}_i$，则

$$
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = (1-c) \sum_{i=1}^{n} x_iy_i + c\left(\sum_{i=1}^{n} x_n\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_n\right)
$$
:::

:::proof
$$
\begin{align*}
  \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} &= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} x_iy_j \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j \\
  &= \sum_{i=1}^{n} x_iy_i + \sum_{1\le i,j\le n}^{i\ne j} cx_iy_j \\
  &= (1-c)\sum_{i=1}^{n} x_iy_i + c \sum_{1\le i,j\le n} x_iy_j \\
  &= (1-c) \sum_{i=1}^{n} x_iy_i + c\left(\sum_{i=1}^{n} x_n\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_n\right)
\end{align*}
$$
:::

具体到 $c=\dfrac{1}{2}$ 的情形，则是

$$
\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \dfrac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} x_iy_i + \dfrac{1}{2} \left(\sum_{i=1}^{n} x_n\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_n\right)
$$

## 证明

根据方差的平移不变性，不妨设 $V_0$ 也为原坐标的原点。设 $\mathbf{u} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} u_i\mathbf{e}_i$ 为原坐标系的某个基向量。

根据 $|\mathbf{u}| = 1$ 有

$$
\begin{align*}
  \mathbf{u}^2 &= \left(\sum_{i=1}^{n} u_i\mathbf{e}_i\right)^2 \\
  &= \dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}u_i^2 + \dfrac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} u_i\right)^2 \\
  &= 1
\end{align*}
$$

显然 $x_0=0$，而对于 $i=1,\dots,n$，

$$
\begin{align*}
  &x_i = \mathbf{u} \cdot a\mathbf{e}_i = \frac{au_i}{2} + \frac{a}{2}\sum_{i=1}^{n} u_i \\
  \implies& \bar{x} = \frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{a}{2}\sum_{i=1}^{n} u_i \\
\end{align*}
$$

于是

$$
\begin{align*}
  (n+1)\sigma^2\{x_i\} &= \sum_{i=0}^{n} (x-\bar{x})^2 \\
  &= \left(\frac{a}{2}\sum_{k=1}^{n}u_i\right)^2 + \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{au_i}{2}\right)^2 \\
  &= \dfrac{1}{2} a^2 \left( \dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}u_i^2 + \dfrac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{n} u_i\right)^2 \right) \\
  &= \frac{1}{2}a^2
\end{align*}
$$

:::right
$\square$
:::

<!-- 选 $\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_{n-1}$ 作基底，设

$$
\mathbf{i} = \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i\mathbf{r}_i
$$

根据 $\mathbf{i}$ 为单位向量有

$$
\begin{align*}
  \mathbf{i}^2 &= \left(\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i\mathbf{r}_i\right)^2 \\
  &= \sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i^2\mathbf{r}_i^2 + 2\sum_{1\le i<j \le n} \lambda_i\lambda_j\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j \\
  &= r^2 \left(\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i^2 - \frac{2}{n-1} \sum_{1\le i<j \le n-1} \lambda_i\lambda_j \right) \\
  &= 1
\end{align*}
$$

另一方面，

$$
\begin{align*}
  \sum_{i=1}^{n} \left(\mathbf{i} \cdot \mathbf{r}_i\right)^2 &= \sum_{i=1}^{n-1} \left( \sum_{j=1}^{n-1}\lambda_j\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i \right)^2 + \left(\sum_{i=1}^{n-1}\lambda_i\mathbf{r}_i + \sum_{i=1}^{n-1} \mathbf{r}_i\right)^2 \\
  &= \sum_{i=1}^{n-1} \left( \sum_{j=1}^{n-1}(\lambda_j-[i=j])\mathbf{r}_i  \right)^2 + \left(\sum_{i=1}^{n-1}(\lambda_i+1)\mathbf{r}_i\right)^2 \\
  &= r^2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=1}^{n-1}(\lambda_j-[i=j])^2 - \frac{2r^2}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{1\le j<k\le n-1} (\lambda_j-[i=j])(\lambda_k-[i=k]) \\&\quad + r^2\sum_{i=1}^{n-1}(\lambda_i+1)^2 - \frac{2r^2}{n-1}\sum_{1\le i<j\le n-1} (\lambda_i+1)(\lambda_j+1) \\
  &= nr^2 \sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i^2 - \dfrac{2nr^2}{n-1} \sum_{1\le i<j\le n-1} \lambda_i\lambda_j + nr^2 \\
  &= n
\end{align*}
$$ -->