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title: 分步求和法 / Abel 变换
createTime: 2026/2/8
categories:
    - study
tags:
    - maths
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!!心碎了，外面的规矩都是 ∑ 的结合性比 + 高吗!!

设 $\{A_i\}, \{B_i\}$ 分别为 $\{a_i\}, \{b_i\}$ 的前缀和，则
$$
\begin{align*}
&\mathrel{\phantom{=}} \sum_{i=1}^{n} A_i b_i \\
&= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} a_j b_i \\
&= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_j b_i \\
&= \sum_{j=1}^{n} a_j (B_n - B_{j-1}) \\
&= \sum_{j=1}^{n} a_j B_n - \sum_{j=1}^{n} a_j B_{j-1} \\
&= A_n B_n - \sum_{i=1}^{n} a_i B_{i-1}
\end{align*}
$$

注意下标的移位。

高中最常见的例子是所谓{差乘比|ccb}：
$$
\begin{align*}

\sum_{i=1}^{n} i q^i &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} q^i \\
&= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} q^i \\
&= \sum_{j=1}^{n} \frac{q^{n+1} - q^{j}}{q-1} \\
&= \frac{nq^{n+1}}{q-1} - \frac{1}{q-1}\sum_{j=1}^{n} q^j \\
&= \frac{nq^{n+1}}{q-1} - \frac{q^{n+1} - q}{(q-1)^2}
\end{align*}
$$