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techniques-about-parametric-equations-of-conics.md

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title: 浅谈参数化联立对某些问题的特攻效果（真的很浅）
createTime: 2026/2/2
categories:
  - study
tags:
  - maths
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:::problem
已知 $\Gamma: x^2-y^2=9$，$P_n(x_n,y_n), Q_n$ 在 $\Gamma$ 上，$P_n Q_n$ 的斜率为 $k$，$Q_n, P_{n+1}$ 关于 $y$ 轴对称。

（1）略  
（2）证明 $x_n-y_n$ 为等比数列；  
（3）证明 $S_{\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}} = S_{\triangle P_{n+1} P_{n+2} P_{n+3}}$。
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:::solution 2
设 $x_n - y_n = t_n$，于是 $x_n + y_n = \dfrac{9}{t_n}$，则有

$$
P_n \left( \dfrac{9}{2t_n} + \dfrac{t_n}{2}, \dfrac{9}{2t_n} - \dfrac{t_n}{2} \right), \quad Q_n \left( \dfrac{9}{2 (-\frac{9}{t_{n+1}})} + \dfrac{-\frac{9}{t_{n+1}}}{2}, \dfrac{9}{2(-\frac{9}{t_{n+1}})} - \dfrac{-\frac{9}{t_{n+1}}}{2} \right)
$$

将 $y=kx+b$ 与 $\left( \dfrac{9}{2t} + \dfrac{t}{2}, \dfrac{9}{2t} - \dfrac{t}{2} \right)$ 联立得 $(9-t^2) = k(9+t^2) + 2tb$，即

$$
(1+k) t^2 + 2bt + 9k-9 = 0
$$

从而 $t_n \cdot \left(-\dfrac{9}{t_{n+1}}\right) = \dfrac{9k-9}{1+k}$，即 $\dfrac{t_{n+1}}{t_n} = \dfrac{1+k}{1-k}$。
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:::solution 3
由（2）同理可得

$$
\dfrac{9k_{P_n P_{n+3}}-9}{1+k_{P_n P_{n+3}}} = t_n t_{n+3} = t_{n+1} t_{n+2} = \dfrac{9k_{P_{n+1} P_{n+2}}-9}{1+k_{P_{n+1} P_{n+2}}}
$$

于是 $P_n P_{n+2} \parallel P_{n+1} P_{n+3}$，证毕！
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:::analysis
在列出参数方程之后，我们用直线方程联立。

简化过程的方法：知道要保留什么变量，从而选择合适的方程。这里由于是定斜率问题，我们要探究 $t, k$ 关系，于是采取点斜式并消去 $b$ 保留 $k$。
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下面我们看一个消去 $k$ 保留 $b$ 的例子。

:::problem
已知 $\Gamma: x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 1$，$A, M$ 关于原点对称，$B, N$ 关于 $x$ 轴对称，若 $AB$ 过 $(0,4)$，求证 $MN$ 过定点。
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:::solution
设 $M \left(\dfrac{1-t_1^2}{1+t_1^2}, \dfrac{4t_1}{1+t_1^2}\right), N\left(\dfrac{1-t_2^2}{1+t_2^2}, \dfrac{4t_2}{1+t_2^2}\right)$，从而 $A\left(\dfrac{1-(-\frac{1}{t_1})^2}{1+(-\frac{1}{t_1})^2}, \dfrac{4(-\frac{1}{t_1})}{1+(-\frac{1}{t_1})^2}\right), B\left(\dfrac{1-(-t_2)^2}{1+(-t_2)^2}, \dfrac{4(-t_2)}{1+(-t_2)^2}\right)$，

设 $l_{MN}: y=kx+b$，与 $\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \dfrac{4t}{1+t^2}\right)$ 联立得 $4t = k(1-t^2) + b(1+t^2)$，即

$$
(b-k) t^2 - 4t + b+k = 0
$$

于是 $t_1+t_2 = \dfrac{4}{b-k}, t_1 t_2 = \dfrac{b+k}{b-k} = \dfrac{2b}{b-k} - 1 = \dfrac{b}{2}(t_1+t_2)-1$，故 $b = 2 \dfrac{t_1 t_2 + 1}{t_1 + t_2}$。

同理可得 $4 = 2 \dfrac{(-\frac{1}{t_1})(-t_2) + 1}{(-\frac{1}{t_1}) + (-t_2)} = -2 \dfrac{t_2 + t_1}{1 + t_1 t_2}$，于是 $b = -1$，即 $AB$ 过定点 $(0,1)$。
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