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triple-involution-theorem.md

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title: 三对合定理
createTime: 2026/4/24
categories:
  - study
tags:
  - maths
  - study-note
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如果不是我推出来告诉 CHh 之后，CHh 把它出到了某名校的期末~~钓鱼~~卷上，我大约是不会写这一篇的。

*诸君同窗、列位学友，不是我害了你，是这个乱**试**害了你啊！*

## 定理

:::theorem 三对合定理（高中圆锥曲线表述）
已知圆锥曲线 $\Gamma$ 上的四点 $P, Q, R, S$。若直线 $PQ, QR, RS$ 分别过定点 $A, B, C$，则直线 $SP$ 过定点的**充要条件**是 $A, B, C$ 三点共线。
并且，在该条件下，直线 $SP$ 所过的定点也在这条直线上。
:::

## 证明

### 1 圆锥曲线上动点参数化

在 $\Gamma$ 上取定一点 $M$ 作为参考点。对于 $\Gamma$ 上不同于 $M$ 的任意点 $X$，我们用直线 $MX$ 的斜率 $x$ 来参数化 $X$。$X=M$ 时取 $X$ 处的切线；$MX$ 竖直时允许斜率取无穷大，以下的代数运算均在扩展的实数系下理解。

下面我们给出经典~~二级~~结论：

:::lemma 引理 1
若直线 $PQ$ 恒过定点 $N$，则动点 $P, Q$ 的斜率参数 $p, q$ 之间存在如下关系：

存在不全为零的系数 $\alpha, \beta, \gamma$，使得 $p, q$ 满足
$$
q = \frac{\alpha p + \beta}{\gamma p - \alpha}
$$
我们在这里也允许无穷大，不妨同除以 $\alpha$，表示为 $q = \dfrac{p + \beta'}{\gamma' p - 1}$。
:::

### 2 定点参数空间

:::lemma 引理 2
对于引理 1 中由定点 $N$ 确定的参数变换关系 $q = \dfrac{p + \beta'}{\gamma' p - 1}$，我们定义 $N$ 的一个参数坐标：

$$
f(N) = (\beta', \gamma')
$$

则 $A,B,C$ 共线当且仅当 $f(A), f(B), f(C)$ 共线。
:::

它的证明需要啰嗦一下。

在引理 1 的证明中，我们可以得到一个副产物：

$$
\beta' = \frac{A_{11} x_N + A_{12} y_N + A_{13}}{A_{31} x_N + A_{32} y_N + A_{33}} \\
\gamma' = \frac{A_{21} x_N + A_{22} y_N + A_{23}}{A_{31} x_N + A_{32} y_N + A_{33}}
$$

接下来我们使用“升维”的引理：

:::引理 3
$$
\begin{aligned}
  \left(\dfrac{x_1}{z_1},\dfrac{y_1}{z_1}\right), \left(\dfrac{x_2}{z_2},\dfrac{y_2}{z_2}\right), \left(\dfrac{x_3}{z_3},\dfrac{y_3}{z_3}\right) \text{共线} &\iff \text{空间向量} \left(\dfrac{x_1}{z_1},\dfrac{y_1}{z_1},1\right), \left(\dfrac{x_2}{z_2},\dfrac{y_2}{z_2},1\right), \left(\dfrac{x_3}{z_3},\dfrac{y_3}{z_3},1\right) \text{共面} \\
  & \iff \text{空间向量} \left(x_1,y_1,z_1\right), \left(x_2,y_2,z_2\right), \left(x_2,y_2,z_2\right) \text{共面}
\end{aligned}
$$
:::

根据基底的思想，从 $(x,y,1)$ 到 $(\beta, \gamma, \alpha)$ 的变换相当于把基底从 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 换成了 $(A_{11}, A_{12}, A_{13}), (A_{21}, A_{22}, A_{23}), (A_{31}, A_{32}, A_{33})$，而空间中基底的选取显然不会改变点的共面情况，自然也不会改变向量的共面情况。

### 3 从几何到代数的翻译

将定点 $A, B, C$ 分别对应于参数变换的系数，设
$$
f(A) = (a, \alpha), \quad f(B) = (b, \beta), \quad f(C) = (c, \gamma)
$$

根据题设：
- $P, Q$ 连线的定点是 $A \implies q = \dfrac{p + a}{\alpha u p - 1}$
- $Q, R$ 连线的定点是 $B \implies r = \dfrac{q + b}{\beta q - 1}$
- $R, S$ 连线的定点是 $C \implies s = \dfrac{r + c}{\gamma r - 1}$

### 4 代数推导

代入并整理以上三式：

$$
\begin{aligned}
q &= \frac{p+a}{\alpha p-1} \\
r &= \frac{q+b}{\beta q-1} = \frac{\frac{p+a}{\alpha p-1}+b}{\beta \frac{p+a}{\alpha p-1}-1} = \frac{(1+b\alpha )p + (a-b)}{(\beta -\alpha )p + (a\beta +1)} \\
s &= \frac{r+c}{\gamma r-1} = \frac{\frac{(1+b\alpha )p + (a-b)}{(\beta -\alpha )p + (a\beta +1)}+c}{\gamma \frac{(1+b\alpha )p + (a-b)}{(\beta -\alpha )p + (a\beta +1)}-1} \\
&= \frac{\Bigl[ (1+b\alpha) + c(\beta-\alpha) \Bigr] p + \Bigl[ (a-b)+c(a \beta+1) \Bigr]}{\Bigl[ \gamma(1+b\alpha)-(a\beta+1) \Bigr] p + \Bigl[\gamma(a-b)-(a\beta+1)\Bigr]}
\end{aligned}
$$

与引理 1 的形式比对系数，得出 $SP$ 过定点 $\iff \Bigl[ (1+b\alpha) + c(\beta-\alpha) \Bigr] + \Bigl[\gamma(a-b)-(a\beta+1)\Bigr] = 0$。

注意右式可整理成 $a\beta - b\alpha = c(\beta-\alpha) + \gamma(a-b)$，即 $(a, \alpha), (b, \beta), (c, \gamma)$ 共线，亦即 $A,B,C$ 共线。

定点与 $A,B,C$ 共线的证明留作习题，读者自证不难。