查看源代码：
cross-main-term-formula.md

---
title: 交叉主项公式
createTime: 2025/11/22
categories:
    - IT
tags:
    - maths
    - OI
---

:::theorem 交叉主项公式
若 $a > c, b < d$，则

$$
\begin{align*}
\operatorname{cmp}(\max\{a, b\}, \max\{c, d\}) &= \operatorname{cmp}(a, d) \\
\operatorname{cmp}(\min\{a, b\}, \min\{c, d\}) &= \operatorname{cmp}(b, c)
\end{align*}
$$

其中 $\operatorname{cmp}(a, b) = \textstyle\operatorname{sgn}(a-b) = \begin{cases}1,&a>b\\0,&a=b\\-1,&a<b\end{cases}$
:::

:::proof
$$
\begin{align*}
& \max\{a,b\} \le \max\{c,d\} \\
\iff& \max\{a,b\} \le c \lor \max\{a,b\} \le d \\
\iff& a\le c \land b\le c \lor a\le d \land b \le d \\
\iff& \text{FALSE} \land b\le c \lor a\le d \land \text{TRUE} \\
\iff& a\le d \\
\end{align*}
$$

对称地 $\max\{a,b\} \ge \max\{c,d\} \iff a \ge d$，于是 $\operatorname{cmp}(\max\{a, b\}, \max\{c, d\}) = \operatorname{cmp}(a, d)$。

同理对 $\min$ 也成立。
:::

:::warning
值得注意的是，若这个公式的前提条件可以取等，它就不一定成立。
:::