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LMaple-XB1-19.md

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title: LMaple小枫. 高中数学选必一 自制试题 T19 简要解答
createTime: 2025/12/6
categories:
    - study
tags:
    - maths
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来源 @**LMaple小枫.**

:::problem
**19.** 已知三棱锥 $P{-}ABC$ 满足 $\angle BPC = \alpha, \angle APC = \beta, \angle APB = \gamma$。

（1）若 $\alpha=\beta=\gamma=\dfrac{\pi}{2}, PA^2+PB^2+PC^2=1$，求 $P$ 到 $ABC$ 距离的最大值。  
（2）求二面角 $B{-}AP{-}C$ 的余弦值。  
（3）证明：$-\dfrac{1}{8} < \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma < 1$。
:::

流感中招了，故仅略写。

:::solution 解答（猜猜有多少过程分？）
（1）建系略。设 $PA=a, PB=b, PC=c$，则 $ABC: \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$，代入距离公式：

$$
d(P{-}ABC)
= \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}
= \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right)(a^2+b^2+c^2)}} 
\le \frac{1}{3}
\qquad(\text{柯西不等式})
$$

（2）经典三面角余弦定理。作两条垂线，用两次余弦定理，然后暴力化简即得答案 $\dfrac{\cos\alpha - \cos\beta \cos\gamma}{\sin\beta \sin\gamma}$。

（3）上界显然，下证下界。不妨设 $0 < \alpha \le \beta \le \gamma < \pi$，有 $\alpha+\beta-\gamma>0 ①,\  \alpha+\beta+\gamma<2\pi ②$。

由 $\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma < 0$ 分类讨论：

1. 若 $\alpha,\beta<\dfrac{\pi}{2}, \gamma > \dfrac{\pi}{2}$：设 $\gamma' = \pi - \gamma$，由①得 $\alpha + \beta + \gamma' > \pi$，结合 $0 < \alpha,\beta, \gamma' < \dfrac{\pi}{2}$ 可得
$$
\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma' \le \left(\dfrac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma'}{3}\right)^3 \le \cos^3\left(\dfrac{\alpha+\beta+\gamma'}{3}\right) < \cos^3\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{8} \quad(\text{琴生不等式})
$$
因此 $\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma = -\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma' > -\dfrac{1}{8}$。

2. 若 $\alpha,\beta,\gamma > \dfrac{\pi}{2}$，设 $\alpha'=\pi-\alpha, \beta'=\pi-\beta, \gamma' = \pi - \gamma$，由②得 $\alpha' + \beta' + \gamma' > \pi$ 且 $0 < \alpha',\beta', \gamma' < \dfrac{\pi}{2}$，

   由上同理 $\cos\alpha \cos\beta \cos \gamma = -\cos\alpha' \cos\beta' \cos \gamma' > -\dfrac{1}{8}$。
:::