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a-bizarre-property-of-conic-sections.md

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title: 一个离奇的圆锥曲线性质
createTime: 2025/12/11
categories:
    - study
tags:
    - maths
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离心率为 $e$ 的圆锥曲线 $C$ 主轴（长轴/实轴）上的一个顶点为 $A$，主轴上有一点 $M$，动直线 $PQ$ 过 $M$ 交 $C$ 于 $P, Q$，设 $\triangle APQ$ 的重心、垂心、外心轨迹分别为 $G, H, O$，则 $G, H; O, C$ 四个圆锥曲线中心的交比为 $1-\dfrac{e^2}{2}$。

以及：

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![图](a-bizarre-property-of-conic-sections/img.svg){width="600px"}
:::

:::problem
双曲线 $\Gamma: x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的左顶点为 $A$，$x$ 轴上有一个不在 $\Gamma$ 上的点 $M$，$A, B$ 在 $\Gamma$ 上且 $AB$ 过 $M$。设 $\triangle ABC$ 的重心、垂心、外心 $G,H,Q$ 的轨迹的对称中心分别为 $\mathscr{G,H,Q}$，$\Gamma$ 上有对径点 $S, T$，$S\mathscr{G}, T\mathscr{H}$ 交于 $R$，求证 $STR\mathscr{Q}$ 是平行四边形。
:::

爆算罢（无慈悲）。

## G

设 $M(m,0), BC: x=ty+m$，联立得

$$
\left(3t^2-1\right)y^2 + 6tmy + 3m^2-3 = 0
$$

PhantomBird 从不判断 $a$ 和 $\Delta$，直接韦达得 $y_1+y_2 = \dfrac{6tm}{1-3t^2}, y_1 y_2$ 用不着，

则有
$$
G\left(\dfrac{x_1+x_2-1}{3}, \dfrac{y_1+y_2}{3}\right) = \left(\frac{3t^{2}+2m-1}{3-9t^{2}}, \frac{2tm}{1-3t^{2}} \right)
$$

虽然方程不好找，但是对称中心好找啊，由对称性它与 $x$ 轴的两个交点是对径点。

由 $y = 0$ 有 $t=0$ 或 $t \to \infty$，分别代入得 $\dfrac{2m-1}{3}, -\dfrac{1}{3}$，于是 $\mathscr{G}\left(\dfrac{m-1}{3}, 0\right)$。

## Q

曲线系：
$$
\begin{align*}
\odot(ABC): &\ (ty+m-x)(-ty-1-x) + \lambda \left( 3 x^2 - y^2 - 3 \right) \\
=&\ (3\lambda+1)x^2 - (\lambda+t^2)y^2 + (1-m)x - (mt+t)y - 3\lambda-m
\end{align*}
$$
于是 $\lambda = -\dfrac{1 + t^2}{4}$，直接套配方公式可得外心

$$
Q\left(-\frac{1-m}{2(3\lambda+1)}, -\frac{mt+t}{2(\lambda+t^2)}\right) = \left(\frac{2(m-1)}{1-3t^2}, \frac{2t(m+1)}{1-3t^2}\right)
$$

由 $y = 0$ 有 $t=0$ 或 $t \to \infty$，分别代入得 $2m-2, 0$，于是 $\mathscr{Q}\left(m-1, 0\right)$。

## H

根据欧拉线定理，$\overrightarrow{QH} = 3\overrightarrow{QG}$，于是 $\overrightarrow{\mathscr{QH}} = 3\overrightarrow{\mathscr{QG}}$，则 $\mathscr{H}\left(1-m, 0\right)$。

## R

注意到 $\mathscr{G,H;Q},O$ 是调和点列，所以 $TS \mathbin{/\kern{-0.3em}/} \mathscr{Q}R$，而 $\mathscr{H, Q}$ 是对径点，于是 $\mathscr{Q}S \mathbin{/\kern{-0.3em}/} \mathscr{H}T$，证毕。