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title: 揭开十字相乘法的面纱
createTime: 2022/11/10
categories: 
    - study
tags:
    - maths
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![艹，没加载出来](image/grass.jpg)
## 智慧主镇帖


被小草神扫到的人都能一秒理解十字相乘法，快说谢谢小草神  

## 从整式乘法到因式分解  
我们先从整式乘法开始：  
$~~~(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$  
$=a_1a_2x^2+a_2c_1x+a_1c_2x+c_1c_2$  
$=a_1a_2x^2+(a_2c_1+a_1c_2)x+c_1c_2$  
因此，只要$ax^2+bx+c$有$a_1, a_2, c_1, c_2$满足  
$\begin{cases}a=a_1a_2 \\ b=a_2c_1+a_1c_2 \\ c=c_1c_2 \end{cases}$  
我们就可以将其因式分解成$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$  

## 大叉叉的来源  
OK，我们已经知道形如$ax^2+bx+c$的整式如何分解因式了，那么，$a_1, a_2, c_1, c_2$咋求呢？  
我们先来观察一下条件。  
$a=a_1a_2$  
$c=c_1c_2$  
这俩都是数字的因数分解。从他们入手，会更简单些。  
为了直观看出$a_1, a_2, c_1, c_2$的关系，我们把他们排进一个表格里。  

|                      | 由$a$分解来，与$x$相乘 | 由$c$分解来，不与$x$相乘 |
| :-------------: | :-------------------------: | :------------------------: |
| 在第一个因式 | $a_1$                              | $c_1$                    |
| 在第二个因式 | $a_2$                              | $c_2$                    |

我们在这个，我们看$b$的条件：$b=a_2c_1+a_1c_2$  
可以发现，构成$b$的两项都是上面表格的对角线相乘来的，于是，我们把对角线也放进里面。  
$a_1~~~~c_1$  
$~~~~\times$  
$a_1~~~~c_2$  
看，有内味了吧！  

## 分解方法  
根据$a=a_1a_2, c=c_1c_2$试一下$a_1, a_2, c_1, c_2$，$a_2c_1+a_1c_2=b$即为成功。  
没啥特别的，除了试错还是试错，有时候瞪眼法能瞪出来。  
试错不要像无头苍蝇，要有序地试，试完$a_1, a_2$，再试$c_1, c_2$（$a=1$就不用试$a_1, a_2$了），试的时候聪明~~（特别是被智慧主祝福过）~~的同学可以根据$b$的值估计$c_1, c_2$的大小。  

### 例子  
$3x^2-10x-8$  
先看二次项系数3，可以分解为$1\times3$（试$a_1, a_2$时没必要考虑正负）  
先试$1\times3$：  
$1~~~~c_1$  
$~~\times$  
$3~~~~c_2$  
再看常数项-8，这个分解就可以取巧了。  
首先-8可以分解为一正一负，而-10这么小的一次项系数又在提醒我们一定要用大负数和3乘。  
因此，我们先试$(-8)\times1$：  
$1~~~-8$  
$~~\times$  
$3~~~~1$  
$1\times 1+3\times(-8)=1-24=23$  
不行，再试$(-4)\times2$：  
$1~~~-4$  
$~~\times$  
$3~~~~2$  
$1\times 2+3\times(-4)=2-12=-10$  
刚刚好。  
验算一下：  
$(3x+2)(x-4)=3x^2+2x-12x-8=3x^2-10x-8$，没错。  

# 拓展  
这个方法不仅可以分解$ax^2+bx+c$，还可以分解$ax^2+bxy+cy^2$  
还有就是以上的$x, y$可以代表任何字母甚至式子，警惕换皮。