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density-of-intpoints-on-plane.md

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title: 平面上的整点密度
createTime: 2025/9/28
categories:
    - study
tags:
    - maths
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## 定义

最近在想一个体素化有关的问题，需要量化平面上的整点密度。

经过思考，可以给出如下定义：

:::note 定义

若一个平面 $\alpha$ 包含三个不共线的整点，若三个不共线的整点组成的三角形的最小面积为 $S$，定义整点密度

$$\rho(\alpha) = \frac{1}{2S}$$

若 $\alpha$ 不包含三个不共线的整点，则 $\rho(\alpha) = 0$。

:::

:::: details 等价定义

可以证明，这个定义与下面的定义等价：

:::note 定义
设 $\alpha$ 上以一定点 $O$，半径为 $r$ 的圆包含 $n$ 个整点，定义
$$\rho(\alpha) = \lim_{r\to+\infty} \frac{n}{\pi r^2}$$
:::

虽然这个定义更符合对“密度”的印象，但是这个定义看起来不太美妙，因此我们仍然采用第一种定义。

::::

## 计算方法

如何计算一个平面的整点密度呢？我们有一个极其优美的结论：

:::note 定理

若平面 $\alpha$ 上存在整点，则存在最简的整法向量 $\mathbf{n}_{\min}$，且 $|\mathbf{n}_{\min}|\rho(\alpha) = 1$。

:::

### 证明

考虑把点的问题转化为向量问题。对于向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \mathrel{/\negmedspace/} \alpha$，有

$$
S_{\triangle \mathbf{a}\mathbf{b}} = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \frac{1}{2} |\lambda \mathbf{n}|
$$

由 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{Z}^3$ 可知 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} \in \mathbb{Z}^3$，  
于是 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = k \mathbf{n}_{\min}, k \in \mathbb{Z}, k \ne 0$，则有 $S_{\mathbf{a} \mathbf{b}} \ge \dfrac{1}{2} |\mathbf{n}_{\min}|$。

只需证能够取等即可。设 $\mathbf{n}_{\min} = (x_n, y_n, z_n)$ 满足 $\gcd(x_n, y_n, z_n) = 1$，  
设 $a = \gcd(y_n, z_n), b = \gcd(x_n, z_n), c = \gcd(x_n, y_n)$，  
$\quad x = x'bc, y = y'ac, z = z'ab$，

可以构造

$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b}
 = \begin{vmatrix}
    \textbf{ i } & \textbf{ j } & \textbf{ k } \\
    -ay' & bx' & 0 \\
    au & bv & c \\
\end{vmatrix}
 = \bigl( x'bc, y'ac, -ab(x'u+y'v) \bigr)
$$

因为 $x', y'$ 互质，所以 $x'u + y'v = -z'$ 一定有整数解。

于是 $\min S_{\triangle \mathbf{a} \mathbf{b}} = \dfrac{1}{2} |\mathbf{n}_{\min}|$，则 $|\mathbf{n}_{\min}|\rho(\alpha) = |\mathbf{n}_{\min}|\dfrac{1}{2 \min S_{\triangle \mathbf{a} \mathbf{b}}} = 1$。$\quad\square$