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extension-of-Apollonius-circle.md

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title: 阿氏圆推广
createTime: 2025/11/9
categories:
    - study
tags:
    - maths
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水一篇凑数。

:::theorem
到两圆（可以退化为点）的圆幂之比为定值 $k$ 的点的轨迹为圆（$k=1$ 时退化为两圆根轴）。
:::

解析几何上十分显然。这里介绍何几迷 [GooodPig](//gooodpig.pages.dev) 的纯几何证法（他自己懒得发）。

:::center
![图](extension-of-Apollonius-circle/image.svg){width=600px}
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设 $O_1P^2 = kO_2P^2 + m$，在线段 $O_1O_2$ 的延长线上取 $O_3$ 使 $O_1O_3 = k O_2O_3 = ka$，由 Stewart 定理

$$
O_1O_3 \cdot O_2P^2 - O_2O_3 \cdot O_1P^2 = O_1O_2 (O_3P^2 + O_1O_3 \cdot O_2O_3)
$$

于是

$$
\phantom{\qquad\square} O_3P^2 = \frac{ka O_2P^2 - aO_1P^2}{a} - ka^2 = m-ka^2 = \text{const} \qquad \square
$$