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title: 不等式入门——均值不等式篇
createTime: 2025/9/26
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- study
tags:
- maths
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## 凑均值相关技巧
### 裂/加项凑均值次数
#### 例 1.1.1
:::note 题目
（从另一题目过程中截取）$t>0$，求 $t^2 + \dfrac{1}{t}$ 的最小值.
:::
在 $A \ge G$ 的不等式中，$G$ 的次数实际上等于 $A$ 中各项的平均次数. 因此，我们可以对 $A$ 进行变形，凑出合适的次数.
具体如何变形，应由目标次数与取等条件综合决定.
此处，为了使 $G$ 是常数，将 $\dfrac{1}{t}$ 列成两项，此时平均次数为 $\dfrac{2-1-1}{3} = 0$.
$$
\begin{align*}
t^2 + \frac{1}{t} &= \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2t} + \frac{1}{2t} \\
&\ge \sqrt[3]{\frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{2t} \cdot \frac{1}{2t}} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}
$$
### 乘系数凑常数
#### 例 1.2.1
:::note 题目
$a, b, c \in [0,1]$，求 $(1-a)(1-b)(1-c) \sqrt{a+b+c}$ 的最大值.
:::
首先把原式平方，消去根号.
$$
\text{原式}^2 = (1-a)^2 (1-b) ^2 (1-c)^2 (a+b+c)
$$
虽然 $2(1-a) + 2(1-b) + 2(1-c) + a+b+c \ne \text{const}$，但不难发现只要把 $a+b+c$ 乘 $2$ 就好了.
于是
$$
\begin{align*}
&\phantom{=}\ \frac{1}{2} (1-a)^2 (1-b) ^2 (1-c)^2 \cdot 2(a+b+c) \\
&\le \frac{1}{2} \left( \frac{2(1-a) + 2(1-b) + 2(1-c) + 2(a+b+c)}{7} \right)^7 \\
&= \frac{6^7}{2 \times 7^7}
\end{align*}
$$
即 $\text{原式} \le \dfrac{6^3 \sqrt{21}}{7^4} = \dfrac{216 \sqrt{21}}{2401}$.
### 乘除待定系数解决取等问题
#### 例 1.3.1
:::note 题目
（从另一题目过程中截取）$t \in (0,1)$，求 $t (1-t)^2 (1+t)^3$ 的最大值.
:::
直接均值可以发现取等条件冲突了，此时可以乘一些待定系数.
有时，为了保证系统的自由度不下降，解决之后可能出现的取等问题，也会引入待定系数. 这是之后会用到的技巧.
$$
\begin{align*}
\text{原式} &= t \cdot \frac{1}{\alpha^2}(\alpha(1-t))^2 \cdot \frac{1}{\beta^3}(\beta(1+t))^3 \\
&\le \frac{1}{\alpha^2 \beta^3} \left( \frac{t + 2\alpha(1-t) + 3\beta(1+t)}{6} \right)^6 \\
&= \frac{1}{\alpha^2 \beta^3} \left( \frac{(1-2\alpha+3\beta)t + 2\alpha + 3\beta}{6} \right)^6
\end{align*}
$$
于是有
$$
\begin{cases}
1-2\alpha+3\beta = 0 \\
t = \alpha(1-t) = \beta(1+t)
\end{cases}
$$
此处 $\begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\dfrac{1}{3} \\[0.5em] t=\dfrac{1}{2} \end{cases}$，即 $\text{原式} \le \dfrac{27}{64}$.
#### 例 1.3.2
:::note 题意
求函数 $f(x) = \sqrt{2x-7} + \sqrt{12-x} + \sqrt{44-x}$ 的最大值.
:::
显然要用平方平均消根号，由于取等条件有冲突，需要乘除待定系数变形.
$$
\begin{align*}
\text{原式} &= \sqrt{2x-7} + \frac{1}{\lambda} \sqrt{\lambda^2 (12-x)} + \frac{1}{\mu} \sqrt{\mu^2 (44-x)} \\
&\le \sqrt{ \left[ 2x-7 + \frac{1}{\lambda} \lambda^2 (12-x) + \frac{1}{\mu} \mu^2 (44-x) \right] \left[ 1+\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\mu} \right] } \tag{*} \\
&= \sqrt{ \biggl[ (2-\lambda-\mu) x + 12\lambda + 44\mu - 7 \biggr] \biggl[ 1+\frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\mu} \biggr] }
\end{align*}
$$
:::tip (*)
将原式看作 $\sqrt{2x-7}$、$\dfrac{1}{\lambda}$ 个 $\sqrt{\lambda^2 (12-x)}$ 和 $\dfrac{1}{\mu}$ 个 $\sqrt{\mu^2(44-x)}$ 相加.
实际上就是运用了加权均值不等式.
:::
由取等条件
$$
\begin{cases}
2-\lambda-\mu = 0 \\
2x-7 = \lambda^2(12-x) = \mu^2(44-x) \\
\end{cases}
$$
有正数解 $\begin{cases} x=8 \\ \lambda = \dfrac{3}{2} \\[0.5em] \mu = \dfrac{1}{2} \end{cases}$，代入得 $f(x)=11$.
## 一些关于齐次化的小小魔法
### 乘非齐次约束条件（又名“1 的妙用”）
#### 例 2.1.1
:::note 题目
$a+b=1, b>0, a\ne0$，求 $\dfrac{1}{|a|} + \dfrac{2|a|}{b}$ 的最小值.
:::
$a+b=1$ 可以作为沟通不同次数的桥梁.
此处 $1$ 是不齐次的，考虑代入 $a+b=1$，则有
$$
\begin{align*}
\text{原式} &= \frac{a+b}{|a|} + \frac{2|a|}{b} \\
&= \mathrm{sgn}(a) + \frac{b}{|a|} + \frac{2|a|}{b} \\
&\ge -1 + 2\sqrt{\frac{b}{|a|} \cdot \frac{2|a|}{b}} = 2\sqrt{2}-1.
\end{align*}
$$
取等条件略.
### 使用均值不等式改变次数
#### 例 2.2.1
:::note 题目
$x,y \in [0, +\infty)$，求 $x^3+y^3-5xy$ 的最小值.
:::
有 $x^3, y^3$ 两项是三次的，考虑使用均值不等式降次.
直接均值降不了次，所以要补一些常数项.
不难发现，想要使均值不等式中几项的平均次数为 $2$，只需引入一个常数项. 设该常数为 $c$.
于是
$$
\begin{align*}
\text{原式} + c &= x^3 + y^3 + c - 5xy \\
&\ge 3\sqrt[3]{cx^3y^3} - 5xy \\
&= 3\sqrt[3]{c}xy - 5xy.
\end{align*}
$$
当 $c = \left( \dfrac{5}{3} \right)^3 = \dfrac{125}{27}$ 时 $xy$ 项恰好消去，代入得 $\text{原式} + \dfrac{125}{27} \ge 0$，即 $\text{原式} \ge -\dfrac{125}{27}$.
#### 例 2.2.2
:::note 例
$a, b > 0, ab(a+b)=4$，求 $2a+b$ 的最小值.
:::
约束的次数太高了，考虑把它放成一次的.
$$
\begin{align*}
&\phantom{=} \lambda a \cdot \mu b \cdot (a+b) \\
&\le \left( \dfrac{\lambda a + \mu b + a + b}{3} \right)^3 \\
&\le \left( \frac{ (\lambda+1) a + (\mu+1) b}{3} \right)^3 \\
&= \left( \frac{k(2a+b)}{3} \right)^3
\end{align*}
$$
此处取等条件约束多于自由度，因此必须考虑取等条件：
$$
\begin{cases}
ab(a+b) = 4 \\
\lambda a = \mu b = a + b \\
\lambda+1 = 2(\mu+1)
\end{cases}
$$
正数解为 $\begin{cases} a = \sqrt{3}-1 \\ b = 2 \end{cases}$，代入得 $2a+b = 2\sqrt{3}$.
如果觉得这个解法不甚优雅，见[另解](#例-3-2-1).
#### 例 2.2.3
:::note 题目
$x^2+y^2=20$，求 $xy+8x+y$ 的最大值.
:::
求的是最大值，使用均值不等式次数会升高. 因此都放成二次的.
$xy$ 这个交叉项很麻烦，也要放掉. 为了不引入新的交叉项，使用平方平均.
$$
\begin{align*}
\text{原式} &= \lambda x \cdot \frac{1}{\lambda} y + mx \cdot \frac{8}{m} + ny \cdot \frac{1}{n} \\
&\le \frac{(\lambda x)^2 + (y/\lambda)^2}{2} + \frac{(mx)^2+(8/m)^2}{2} + \frac{(ny)^2+(1/n)^2}{2} \\
&\le \left(\frac{\lambda^2}{2}+\frac{m^2}{2}\right) x^2 + \left(\frac{1}{2\lambda^2}+\frac{n^2}{2}\right) y^2 + \frac{32}{m^2} + \frac{1}{2n^2}
\end{align*}
$$
有取等条件
$$
\begin{cases}
x^2+y^2 = 1 \\
\dfrac{\lambda^2}{2}+\dfrac{m^2}{2} = \dfrac{1}{2\lambda^2}+\dfrac{n^2}{2} \\[0.7em]
\lambda x = \dfrac{y}{\lambda} \\[0.7em]
mx = \dfrac{8}{m} \\[0.7em]
ny = \dfrac{1}{n}
\end{cases}
$$
解得 $\begin{cases} x=4 \\ y=2 \end{cases}$，此时 $\text{原式}=42$.
## 主元与消元
### 单变量代入/放缩消元
#### 例 3.1.1
:::note 题目
$x, y, z, w > 0, x \ge z \ge w, x+y \le 2(z + w)$，求 $\dfrac{w}{x} + \dfrac{z}{y}$ 的最小值.
:::
太杂太乱，但是这种不等式自由度都很高，可以随便放缩. 发现 $z$ 是自由的，考虑把 $z$ 放掉.
$z \ge \dfrac{x+y}{2} - w$，则 $\dfrac{w}{x} + \dfrac{z}{y} \ge \dfrac{w}{x} + \dfrac{x}{2y} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{w}{y}$.
接下来继续放缩消元. $x$ 同时在分子、分母上，放缩不了，此处分析可知，放 $w$ 的不等号是对的，而放 $y$ 会被分母上的 $2$ 卡正负号，因此只能放 $w$.
$$
\begin{align*}
\text{原式} &\ge \frac{x}{2y} + \frac{1}{2} + w(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}) \\
&\ge \frac{x}{2y} + \frac{1}{2} + y(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}) \\
&= \frac{x}{2y} + \frac{y}{x} - \frac{1}{2} \ge \sqrt{2}-2
\end{align*}
$$
#### 例 3.1.2
:::note 题目
$a, b, c \in \mathbb{R}, 2^a+4^b=2^c, 4^a+2^b=4^c$，求 $c$ 的最小值.
:::
虽然标答没有，但是我总有一种看到指数就想换元的强迫症.
设 $2^a=s, 2^b=t, 2^c=u \quad (s,t,u > 0)$.
于是 $\begin{cases} s+t^2=u \\ s^2+t=u^2 \end{cases}$.
此处如果消 $t$，形式会包含 $u^4$，很复杂；但是消 $s$ 之后，两个 $u^2$ 刚好抵消，得到 $2ut^2=t^4+t^2$.
于是
$$
\begin{align*}
u &= \frac{t^2}{2} + \frac{1}{2t} \\
&= \frac{t^2}{2} + \frac{1}{4t} + \frac{1}{4t} \\
&\ge 3\sqrt[3]{\frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{4t} \cdot \frac{1}{4t}}
\end{align*}
$$
### 整体代入
#### 例 3.2.1
:::note 题目
$a,b>0, ab(a+b)=4$，求 $2a+b$ 的最小值.
:::
平方之后变形：
$$
\begin{align*}
(2a+b)^2 &= 4a^2 + 4ab + b^2 \\
&= 4a(a+b) + b^2 \\
&= \frac{16}{b} + b^2 \\
&= \frac{8}{b} + \frac{8}{b} + b^2 \ge 3\sqrt[3]{64} = 12
\end{align*}
$$
于是 $\text{原式} \ge 2\sqrt{3}$.
<!-- ## 难处理式子换元 -->
<!--
#### 例 4.1.1
:::note 题目
$a, b, c \in (0,1], \lambda\in\mathbb{R}$，使得
$$\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+b+c}} \ge 1 + \lambda (1-a)(1-b)(1-c)$$
恒成立，求 $\lambda$ 的最大值.
:::
此处 $\sqrt{a+b+c}$ 很难处理，考虑换元. 设 $t = \sqrt{\dfrac{a+b+c}{3}}$.（为什么要除以 $3$ 之后会看到）
右侧式子无法直接用 $t$ 表示，但是使用均值不等式
$$
\text{RHS} \le 1+\lambda\left( \frac{(1-a)+(1-b)+(1-c)}{3} \right)^3 = 1 + \lambda\left(1-t^2\right)^3
$$
可以放成 $t$ 的式子.
此时有 $\lambda$ 可以取到的**充分条件**
$$
\frac{1}{t} \ge 1 + \lambda\left(1-t^2\right)^3.
$$
:::warning 注意
此处放缩出的是 $\lambda$ 可以取到的充分条件，后面必须检查有没有更大的 $\lambda$.
:::
接下来有
$$
\lambda \le \frac{\dfrac{1}{t}-1}{\left(1-t^2\right)^3} = \frac{1}{t(1-t)^2(1+t)^3}.
$$
设 $s = t(1-t)^2(1+t)^3$，则
$$
\begin{align*}
\alpha^2 \beta^3 s &= t (\alpha(1-t))^2 (\beta(1+t))^3 \\
&\le \left( \frac{t + 2\alpha(1-t) + 3\beta(1+t)}{6} \right)^6 \\
&= \left( \frac{(1-2\alpha+3\beta)t + 2\alpha + 3\beta}{6} \right)^6
\end{align*}
$$
由取等条件有
$$
\begin{cases}
1-2\alpha+3\beta = 0 \\
t = \alpha(1-t) = \beta(1+t)
\end{cases}
$$
解得 $\begin{cases} \alpha=1 \\ \beta=\dfrac{1}{3} \\[0.5em] t=\dfrac{1}{2} \end{cases}$，于是 $s \le \dfrac{27}{64}$. -->