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isosceles-triangles-with-equal-perimeter-and-area.md

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title: 周长和面积分别相等的等腰三角形对有多普遍
createTime: 2025/11/2
categories:
    - study
tags:
    - maths
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:::theorem
$\forall x_1, x_2 \in (0, +\infty)$，$\exists$ 两个分别以 $2x_1, 2x_2$ 为底的三角形 $\Delta_1, \Delta_2$，满足 $S_{\Delta_1} = S_{\Delta_2}, C_{\Delta_1} = C_{\Delta_2}$。
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:::proof
设 $S_{\Delta_1} = S_{\Delta_2} = S, C_{\Delta_1} = C_{\Delta_2} = 2p$，腰长为 $a$，高为 $h$，则 $x_1, x_2$ 都为方程组

$$
\begin{cases}
    a^2 = x^2 + h^2 \\
    x + a = p \\
    xh = S \\
\end{cases}
$$

的解，等价于

$$
x^3 - \frac{p}{2} x^2 + \frac{S^2}{2p} = 0 \qquad \left(0 < x < \dfrac{p}{2}\right)
$$

有根 $x_1, x_2$。

设另一实根为 $x_3$，由韦达定理，

$$
\begin{cases}
    x_1 + x_2 + x_3 = \dfrac{p}{2} \\
    x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = 0 \\
    x_1x_2x_3 = -\dfrac{S^2}{2p}
\end{cases}
$$

显然 $p = 2 \left(x_1 + x_2 - \dfrac{x_1 x_2}{x_1 + x_2} \right), S = \dfrac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2} \sqrt{x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2}$ 存在，

并且 $p = \dfrac{2 x_1^2}{x_1+x_2} + 2x_2 > 2x_2$，同理 $p > 2x_1$，因此这个解合法。

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