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title: 为什么期望可加性不用考虑是否独立？
createTime: 2025/10/29
categories:
    - study
tags:
    - maths
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简单的求和换序，但是很多人不会，故水一篇。这样之后再用就不会心慌了。

另外，本篇的随机变量默认为离散型随机变量。变为连续型只需将求和变为积分。

首先我们有全概率公式：

:::lemma 全概率公式
对于两个随机变量 $X, Y$，有
$$
\providecommand{\Prob}[0]{\mathbb{P}}
\Prob(X=x) = \sum_{y} \Prob(X=x \land Y=y)
$$
这是由互斥事件的概率可加保证的。
:::

借助这个公式，就可以证明期望可加性：

:::theorem
对于两个随机变量 $X, Y$，有
$$
\providecommand{\E}[0]{\mathbb{E}}
\E[X+Y] = \E[X] + \E[Y]
$$
:::

:::proof
$$
\providecommand{\E}[0]{\mathbb{E}}
\providecommand{\Prob}[0]{\mathbb{P}}
\begin{align*}
\E[X+Y] &= \sum_{x} \sum_{y} (x+y) \Prob(X=x \land Y=y) \\
    &= \biggl[ \sum_{x} x \sum_{y} \Prob(X=x \land Y=y) \biggr] + \biggl[ \sum_{y} y \sum_{x} \Prob(X=x \land Y=y) \biggr] \\
    &= \biggl[ \sum_{x} x \Prob(X=x) \biggr] + \biggl[ \sum_{y} y \Prob(Y=y) \biggr] \\
    &= \E[X] + \E[Y]
\end{align*}
$$
:::