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title: 一道三次曲线解析几何
createTime: 2025/11/11
categories:
    - study
tags:
    - maths
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:::problem
已知定点 $F_1(-c,-r), F_2(c,-r)$，动点 $P(x,y)$ 与 $F_1, F_2$ 不共线，且存在一个圆心在 $x$ 轴上的圆与直线 $PF_1, PF_2, F_1F_2$ 均相切，记 $P$ 的轨迹为 $\Gamma$。设 $\Gamma$ 与 $y$ 轴不同于原点的交点为 $M$，过 $M$ 的直线 $l$ 交 $\Gamma$ 于另外两点 $A, B$，求证 $k_{OA} \cdot k_{OB} = -\dfrac{r^2}{r^2 + c^2}$。
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:::solution
设圆心为 $I(a,0)$，则

$$
k_{PF_1} = \frac{2k_{IF_1}}{1-k_{IF_1}^2} = \frac{2 \frac{r}{a+c}}{1 - \left(\frac{r}{a+c}\right)^2} = \frac{2r(a+c)}{(a+c-r)(a+c+r)}
$$

同理 $k_{PF_2} = \dfrac{2r(a-c)}{(a-c-r)(a-c+r)}$，联立

$$
\begin{cases}
y+r = \dfrac{2r(a+c)}{(a+c-r)(a+c+r)} (x+c) \\
y+r = \dfrac{2r(a-c)}{(a-c-r)(a-c+r)} (x-c)
\end{cases}
$$

解得

$$
P\left(
a \dfrac{a^2 - c^2 - r^2}{a^2 - c^2 + r^2},
r \dfrac{a^2 - c^2 - r^2}{a^2 - c^2 + r^2}
\right)
$$

因为 $x_M=0, y_M \ne 0$，所以 $\dfrac{x_M}{y_M} r = a_M = 0$，代入得 $M\left(0, r\dfrac{c^2+r^2}{c^2-r^2}\right)$。

由上 $\Gamma$ 与 $y$ 轴的交点只有 $M$ 和 $O$，因此 $AB$ 斜率存在。设 $AB: y=kx+r\dfrac{c^2+r^2}{c^2-r^2}$，与 $\Gamma$ 联立，

$$
r \dfrac{a^2 - c^2 - r^2}{a^2 - c^2 + r^2} = k a \dfrac{a^2 - c^2 - r^2}{a^2 - c^2 + r^2} + r\dfrac{c^2+r^2}{c^2-r^2}
$$

由 $a \ne 0$ 整理可得

$$
k a^2 + \dfrac{2 r^3}{c^2 - r^2} a - k (c^2 + r^2) = 0
$$

由韦达定理 $a_A a_B = -(c^2 + r^2)$，故

$$
k_{OA} \cdot k_{OB} = \dfrac{y_A}{x_A} \cdot \dfrac{y_B}{x_B} = \dfrac{r}{a_A} \cdot \dfrac{r}{a_B} = -\dfrac{r^2}{c^2 + r^2} \qquad \square
$$
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