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title: 滴定突跃的数学原理
createTime: 2025/9/1
categories:
    - study
tags:
    - chemistry
    - maths
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假设滴定引起浓度变化的速率恒定，可以列出方程

$$
\begin{cases}
c(\ce{H+}) - c(\ce{OH-}) = \Delta c_0 + vt \\
c(\ce{H+}) \cdot c(\ce{OH-}) = K_w
\end{cases}
$$

有非负解

$$
c(\ce{H+}) = \dfrac{\Delta c_0 + vt + \sqrt{(\Delta c_0 + vt)^2 + 4K_w}}{2}
$$

于是根据定义，

$$
\text{pH} = -\lg \left( \dfrac{\Delta c_0 + vt + \sqrt{(\Delta c_0 + vt)^2 + 4K_w}}{2} \right)
$$

将其求导，得

$$
\providecommand\d{\mathrm{d}}
\dfrac{\d\kern{1px} \text{pH}}{\d t} = -\dfrac{v}{\ln(10) \sqrt{(\Delta c_0 + vt)^2 + 4K_w}}
$$

不难发现导函数有如下性质（不妨设 $v>0$，即酸滴碱）：

- 导函数关于 $t=-\dfrac{\Delta c_0}{v}$ 对称  
  这说明 $\text{pH}\text{-}t$ 图象关于中和点对称。

- $t < -\dfrac{\Delta c_0}{v}$ 时，导函数的绝对值单调递增；$t > -\dfrac{\Delta c_0}{v}$ 时，导函数绝对值单调递减  
  这说明中和之前 $\text{pH}$ 的变化速度逐渐加快，中和之后 $\text{pH}$ 的变化速度逐渐减慢。

- $t = -\dfrac{\Delta c_0}{v}$ 时，导函数取得最小值 $-\dfrac{v}{2\ln(10) \sqrt{K_w}}$  
  说明中和时，$\text{pH}$ 的变化速度最大。  
  由于 $\sqrt{K_w} \approx 10^{-7}$，因此此时导函数的绝对值可以非常大。