查看源代码：
FFMP-20250526-full.md

---
title: 自无梦的长夜亮起 / GPMO2025 T3 / FFMP 20250526 (P)
---

## 题目背景

[GPMO2025](https://gooodpig.pages.dev/year/05/16/%E4%B9%96%E7%8C%AA%E7%9A%84%E5%8E%9F%E5%88%9B%E9%A2%98/)

## 题目描述

对于集合 $A=\{a_1, a_2, \dots, a_n\} \subseteq \mathbb{N_+}$ 和正整数 $k > \max A$，若 $k$ 除以 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 的余数之和为 $k$，则称 $A$ 是 $k$-有趣的.

（1）证明：不存在有趣的二元集合 $A$.

（2）若集合 $A$ 是有趣的，设集合 $A$ 的元素之和为 $S$, $\max A = M$. 证明:
$$S+1 \ge 2M+|A|.$$
并写出等号成立的条件.

（3）若 $A$ 对于 $L, L+1, \dots, R \ (L<R)$ 都有趣.

  ① 证明：$|A| \ge 4$.  
  ② 证明：$2L > R$.  
  ③ 证明：$R - L$ 可以任意大.