查看源代码：
FFMP-20250731.md

---
title: 十万个冷笑话·其一 / FFMP 20250731
createTime: 2025/8/12
---

> **Theorem.** $9\times9 = 81$.
> 
> **Proof.** $9+9=18 \xRightarrow{\text{rotation}} 9\times9=81$.

求所有正整数 $a, b$ 满足 $ab = \operatorname{rev}(a+b)$，其中 $\operatorname{rev}(n)$ 是 $n$ 的十进制反序删除前导零后的结果.

:::details 答案

$$
(2, 2), (9, 9), (3, 24), (24, 3), (2, 49\cdots97)^*, (49\cdots97, 2)^*
$$

\* 没有 $9$ 也可以

---

$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{a+b}{\operatorname{rev}(a+b)} > \frac{1}{10}.
$$

不妨设 $a\ge b$，则 $b \le 20$.

对于 $b \ge 10$，乘法必然导致进位，于是加法也必须导致进位，即 $a = \overline{999\cdots8x} \text{ 或 } \overline{999\cdots9x}$.  
根据 $98 \times 11 \le 1000$，必有 $b = 10$.
此时积为 $\overline{999\cdots9x0}$，和为 $\overline{1000\cdots0x}$，不符合题意.

然后枚举即可，过程太长，不展示.

:::