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FFMP-20251011.md

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title: FFMP 20251011
createTime: 2025/10/11
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若曲线 $\Gamma: (x-1)x(x+1)y = a \ (a \ne 0)$ 与 $C: x^2+y^2=r^2 \ (r > 0)$ 有四个切点，求 $a$ 的值。

:::details 解答

联立

$$
\begin{cases}
    (x^3-x)y = a \\
    x^2+y^2 = r^2
\end{cases}
$$

消去 $y$，得

$$
x^2(x^2-1)^2 (r^2-x^2) - a^2 = 0
$$

这是一个八次方程，由题意得方程有四个二重根。

令 $t = x^2, s=r^2\ (t \ge 0, s>0)$，则

$$
t^4 - (2+s)t^3 + (1+2s)t^2 - st + a^2 = 0
$$

有两个二重根。设它们分别为 $u, v$，则方程可以表示为

$$
(t-u)^2 (t-v)^2 = t^4 - 2(u+v) t^3 + ((u+v)^2 + 2uv)t^2 - 2uv(u+v) t + (uv)^2 = 0
$$

比对系数得 $u+v = 1 + \dfrac{s}{2}, uv = |a|$，且

$$
\begin{cases}
    \left( 1+\dfrac{s}{2} \right)^2 + 2|a| = 1+2s \\[0.5em]
    2|a| \left( 1+\dfrac{s}{2} \right) = s
\end{cases}
$$

两式相减得 $s = 4|a|$，代入解得 $|a| = \dfrac{1}{2}$。

即 $a = \pm \dfrac{1}{2}, r = \sqrt{2}$。

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