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FFMP-20251129.md

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title: FFMP 20251128
createTime: 2025/11/28
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流萤现在正在学习物理必修三，所以你要回答一个问题。

流萤现在有无限个电阻（不要问为什么）。她很好奇，能否使用这些电阻通过串并联组合出更多的电阻。

形式化地，流萤有一个正项无限数列 $\{R_n\}$，每次她可以进行两种操作：

- 选择两个不同的正整数 $i, j$，令 $R_i \gets R_i + R_j, R_j \gets 0$；
- 选择两个不同的正整数 $i, j$，令 $R_i \gets \dfrac{R_i R_j}{R_i+R_j}, R_j \gets 0$。

其中 $R_i \gets x$ 表示将 $R_i$ 变为 $x$。

对于 $R > 0$, 如果数列 $\{R_n\}$ 存在一种操作方式，使得数列在进行有限次操作内包含 $R$，则称 $\{R_n\}$ 可以组合出 $R$。

设 $\mathbb{Q}_+$ 是正有理数集。若 $\forall R \in \mathbb{Q}_+$，$\{R_n\}$ 可以组合出 $R$，则称 $\{R_n\}$ 是完备的。

（1）证明：若 $R_n = 1$，则 $\{R_n\}$ 是完备的。

（2）证明：若 $R_n = n$，则 $\{R_n\}$ 是完备的。

（3）基于以上的研究，流萤猜想：任何正项无限等差数列都是完备的。请证明这个猜想。不允许推翻流萤。