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FFMP-20260311-19.md

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title: T7T P19
createTime: 2026/3/11
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已知 $n$ 项非负数列 $\{u_k\}, \{v_k\}$.

对于给定的正整数 $l,b,w,h$ 满足 $1\le l<l+w-1 \le n$ 且 $1\le b<b+h-1\le n$, 若 $m$ 项整数数列 $\{x_k\}, \{y_k\}$ 满足: 

- $l\le x_k\le l+w-1, b\le y_k\le b+h-1$;
- $\forall i\ne j, (x_i,y_i) \ne (x_j, y_j)$;
- $|x_{k+1}-x_k| + |y_{k+1}-y_k| = 1$;
- $|x_m-x_1| + |y_m-y_1| = 1$.

则称数列对 $(\{x_k\}, \{y_k\})$ 有性质 $P(l,b,w,h)$.

记 $M(l,b,w,h)$ 为在所有有性质 $P(l,b,w,h)$ 的数列对 $(\{x_k\}, \{y_k\})$ 中, $\sum_{k=1}^{m} u_{x_k} v_{y_k}$ 的最大值.

记 $S(l,b,w,h) = \left(\sum_{k=l}^{l+w-1} u_k\right) \left(\sum_{k=b}^{b+h-1} v_k\right)$.

(1) 当 $n=4$, $\{u_k\}, \{v_k\}$ 的通项公式为 $u_k=v_k=k$ 时, 求 $S(1,1,4,3)$ 和 $M(1,1,4,3)$ 的值;

(2) 当 $\{u_k\}, \{v_k\}$ 均为正项数列, $hw$ 为奇数时, 证明: $M(l,b,w,h) < S(l,b,w,h)$;

(3) 当 $u_k, v_k \in \{0,1\}$ 时, 若 $M(l,b,w,h)=S(l,b,w,h)$ 恒成立, 证明: $\sum_{k=1}^{n} (u_k + v_k) \le \dfrac{5n+2}{3}$.

:::details 解答
见 [提瓦特大陆七国联考答案解析](/blog/study/T7T-solution)
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