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FFMP-20260405.md

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title: 梦应归于何处 III / FFMP Ex 12
createTime: 2026/4/5
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设 $n,m$ 为满足 $1 \le m \le n$ 的正整数. F 和 T 正在一个平面直角坐标系中下棋, 规则如下:

- 棋盘由点集 $S = \bigl\{ (x,y) \mid x,y\in\{1,2,\dots,n\} \bigr\}$ 构成.
- F 与 T 轮流行动, F 先手.
- 每一步, 当前玩家挑选一个未被占据的点 $P \in S$, 并将其标记为自己的棋子.
- 若某一方落子之后, 存在 $m$ 个属于这一方的不同棋子 $P_1, P_2, \dots, P_m$ 满足 $P_1, P_2, \dots, P_i$ 在同一直线上, 且 $\forall i\in\{1,2,\dots,m-1\}, \left|P_iP_{i+1}\right| \le \sqrt{2}$, 则这一方获胜.
- 若 $S$ 中的所有点都被占据, 且没有任何一方获胜, 则为平局.

记 $T(n,m) = \begin{cases}
1, & \text{F 有必胜策略} \\
-1, & \text{T 有必胜策略} \\
0, & \text{双方均无必胜策略}
\end{cases}$,

证明: 存在数列 $\{t_i\}$, 使得 $T(n,m) = \begin{cases}
  0, & m \ge t_{n-m} \\
  1, & \text{otherwise}
\end{cases}$.