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FFMP-20260417.md

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title: 梦应归于何处 IV / FFMP Ex 13 (P)
createTime: 2026/4/17
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已知 $\{x_i\}$ 是一个长度为 $2mn$，且任意两项不相等的数列。设 $y_i = \begin{cases} x_{i+1}, & 1 \le i < 2mn \\ x_1, & i=2mn \end{cases}$，

若 $1 \le i < j \le 2mn$ 满足 $\exists k \in \mathbb{N}, j-i = 2mk$ 且 $(x_i-x_j)(y_i-y_j) \ge 0$，则称数对 $(i,j)$ 是好的。设好的数对有 $P(n,m)$ 个，证明：

$$
\frac{n-1}{4}\Bigl(n+(-1)^{m}\left(4-n\right)\Bigr) \le P(n,m) \le \frac{n-1}{2}(mn-2)
$$

并证明对于任意 $n, m$，都存在两个对应的 $\{x_i\}$ 使不等式中的两个等号分别成立。