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外观

作一条直线同时平分三角形的面积和周长

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2026-3-18

  1. 作出内心 II 和重心 GG，M 是 AC 中点，J 是 B 平分线与 AC 的交点。旋转图形，确保 II 在阴影区域内。
  2. 作 AIAI 中垂线交 ACAC 于 KK，在 ABAB 上取 NN，使 AN=AMAN=AM，作 BNKBNK 的外接圆交 ACAC 于 SS。
  3. 以 ASAS 和 BNBN 的中垂线交点 OO 为圆心，OBOB 为半径作圆交线段 JCJC 于 XX，IXIX 即为所求。

正确性

设 ⊙O\odot O 与直线 JCJC 的交点为 X1,X2X_1,X_2，显然 AX1+AX2=ASAX_1+AX_2=AS，

由圆幂定理

AX1⋅AX2=AB⋅AN=AK⋅AS=AK(AX1+AX2)AX_1 \cdot AX_2 = AB \cdot AN = AK \cdot AS = AK(AX_1+AX_2)

在 ABAB 上截取 AX3=AX2,AK2=AKAX_3=AX_2, AK_2=AK，有

AKAX1+AK2AX3=1\frac{AK}{AX_1} + \frac{AK_2}{AX_3} = 1

于是 X1,I,X3X_1, I, X_3 共线，而 AX1⋅AX3=AB⋅AN=12AB⋅ACAX_1 \cdot AX_3 = AB \cdot AN = \dfrac{1}{2} AB \cdot AC，平分面积得证。

设外接圆半径为 rr，由 S△ABC=12rC△ABC,S△AX1X2=12(AX1+AX3)S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} r C_{\triangle ABC}, S_{\triangle AX_1X_2} = \dfrac{1}{2} (AX_1+AX_3) 得 AX1+AX3=12C△ABCAX_1+AX_3 = \dfrac{1}{2}C_{\triangle ABC}，平分周长得证。

可行性

易知平分 △ABC\triangle ABC 的直线包络一个双曲边三角形，过阴影中的点一定可以向对应边作切线。

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