交叉主项公式

若 $a > c, b < d$，则

$$\begin{align*} \operatorname{cmp}(\max\{a, b\}, \max\{c, d\}) &= \operatorname{cmp}(a, d) \\ \operatorname{cmp}(\min\{a, b\}, \min\{c, d\}) &= \operatorname{cmp}(b, c) \end{align*}$$

其中 $\operatorname{cmp}(a, b) = \textstyle\operatorname{sgn}(a-b) = \begin{cases}1,&a>b\\0,&a=b\\-1,&a<b\end{cases}$

证明

$$\begin{align*} & \max\{a,b\} \le \max\{c,d\} \\ \iff& \max\{a,b\} \le c \lor \max\{a,b\} \le d \\ \iff& a\le c \land b\le c \lor a\le d \land b \le d \\ \iff& \text{FALSE} \land b\le c \lor a\le d \land \text{TRUE} \\ \iff& a\le d \\ \end{align*}$$

对称地 $\max\{a,b\} \ge \max\{c,d\} \iff a \ge d$，于是 $\operatorname{cmp}(\max\{a, b\}, \max\{c, d\}) = \operatorname{cmp}(a, d)$。

同理对 $\min$ 也成立。

注意

值得注意的是，若这个公式的前提条件可以取等，它就不一定成立。