定理

$\forall x_1, x_2 \in (0, +\infty)$，$\exists$ 两个分别以 $2x_1, 2x_2$ 为底的三角形 $\Delta_1, \Delta_2$，满足 $S_{\Delta_1} = S_{\Delta_2}, C_{\Delta_1} = C_{\Delta_2}$。

证明

设 $S_{\Delta_1} = S_{\Delta_2} = S, C_{\Delta_1} = C_{\Delta_2} = 2p$，腰长为 $a$，高为 $h$，则 $x_1, x_2$ 都为方程组

$$\begin{cases} a^2 = x^2 + h^2 \\ x + a = p \\ xh = S \\ \end{cases}$$

的解，等价于

$$x^3 - \frac{p}{2} x^2 + \frac{S^2}{2p} = 0 \qquad \left(0 < x < \dfrac{p}{2}\right)$$

有根 $x_1, x_2$。

设另一实根为 $x_3$，由韦达定理，

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = \dfrac{p}{2} \\ x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = 0 \\ x_1x_2x_3 = -\dfrac{S^2}{2p} \end{cases}$$

显然 $p = 2 \left(x_1 + x_2 - \dfrac{x_1 x_2}{x_1 + x_2} \right), S = \dfrac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2} \sqrt{x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2}$ 存在，

并且 $p = \dfrac{2 x_1^2}{x_1+x_2} + 2x_2 > 2x_2$，同理 $p > 2x_1$，因此这个解合法。