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注意力测试 Ⅲ P2 解答

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mathsFFMP

2026-4-2

我们证明了所有函数都是幂函数, 并将论文投稿到了 SHIT 期刊上.

问题

若实数 α\alpha 满足

∃x∈(1,+∞),xα=(ln⁡x)ln⁡(ln⁡x)−ln⁡x+3e\exists x \in (1,+\infty), x^{\alpha} = (\ln x) \ln (\ln x) - \ln x + \frac{3}{\mathrm{e}}

求 α\alpha 的取值范围

令 t=ln⁡x (t∈(0,+∞)),φ(t)=tln⁡t−t+3e−eαtt = \ln x\ (t \in (0,+\infty)), \varphi(t) = t \ln t - t + \dfrac{3}{\mathrm{e}} - \mathrm{e}^{\alpha t}，

情形 1 当 α>−e\alpha > -\mathrm{e} 时

  • 令 t→0t\to 0，则 φ(t)→3e−1>0\varphi(t) \to \dfrac{3}{\mathrm{e}} - 1 > 0；（此处的极限可以用找点代替）
  • 令 t=1et=\dfrac{1}{\mathrm{e}}，则 φ(t)=e−1−eα/e<0\varphi(t) = \mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{\alpha/\mathrm{e}} < 0。

由零点存在性定理可知符合题意。

情形 2 当 α=−e\alpha = -\mathrm{e} 时

有 φ′(t)=ln⁡t+e1−et,φ′′(t)=1t−e2eet>1t−e2e(et)=0\varphi'(t) = \ln t + \mathrm{e}^{1-\mathrm{e}t}, \varphi''(t) = \dfrac{1}{t} - \dfrac{\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}^{\mathrm{e}t}} > \dfrac{1}{t}-\dfrac{\mathrm{e}^2}{\mathrm{e}(\mathrm{e}t)} = 0，

因为 φ′(1e)=0\varphi'\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right) = 0，所以 φ(t)≥φ(1e)=0\varphi(t) \ge \varphi\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right) = 0。

情形 3 当 α<−e\alpha < -\mathrm{e} 时

xα<x−e≤RHSx^\alpha < x^{-\mathrm{e}} \le \mathrm{RHS}

因此 α\alpha 的取值范围为 [−e,+∞)[-\mathrm{e}, +\infty)。

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