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外观

用复数研究正弦式交变电流

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physicsstudy-note

2026-3-10

注意

以下我们用 j\mathrm{j} 而不是 i\mathrm{i} 表示虚数单位，避免与电流 ii 混淆。

用复数表示正弦式交变电流

根据欧拉公式

ejx=cos⁡x+jsin⁡x\mathrm{e}^{\mathrm{j}x} = \cos x + \mathrm{j} \sin x

满足 i=2Icos⁡(ωt+φ)i = \sqrt{2}I \cos(\omega t + \varphi) 的交变电流恰好是复数 2Iej(ωt+φ)\sqrt{2}I \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)} 的实部。于是，我们可以用 2Iej(ωt+φ)\sqrt{2}I \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)} 来表示这样的交变电流。

复导数

在电容、电感的公式中存在导数（i=q′,e=Li′i=q', e=Li'）。如果引入复数，就有

i′=[2Iej(ωt+φ)]′=2Ijωej(ωt+φ)=jωii' = \left[\sqrt{2}I \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)}\right]' = \sqrt{2}I \mathrm{j}\omega\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)} = \mathrm{j}\omega i

要求导只需乘一个 jω\mathrm{j}\omega，非常方便。

相量

正如课本中的有效电流，我们希望用一个与时间无关的量来表示复电流。在我们研究的简化问题中，ω\omega 一般是固定的，于是我们用

I˙=Ieiφ\dot{I} = I\mathrm{e}^{i\varphi}

来表示交变电流。这被称作交变电流的相量。

复阻抗

电感

在理想的电感中

u=e=Li′u = e = Li'

用相量表示即为

U˙=L⋅jωI˙\dot{U} = L \cdot \mathrm{j}\omega\dot{I}

不难发现电压相量与电流相量之比为一个常数

U˙I˙=jωL\frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \mathrm{j}\omega L

这被称作电感的阻抗，记作 ZZ。

电容

同样地，根据 i=q′=Cu′i=q'=Cu' 有

I˙=C⋅jωU˙  ⟹  Z=U˙I˙=1jωC=−jωC\dot{I} = C \cdot \mathrm{j}\omega\dot{U} \implies Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = \frac{1}{\mathrm{j}\omega C} = -\frac{\mathrm{j}}{\omega C}

复阻抗的意义

根据复数除法模长相除、辐角相减的几何意义，可以推知 Z=RejθZ = R\mathrm{e}^{\mathrm{j}\theta} 的意义是电流是电压的 1R\dfrac{1}{R}，且比电压落后 θ\theta 的相位。就这样，我们用一个复数同时表示了元件对电流的阻碍和推迟。

复阻抗的串并联规律

由于复数的四则运算规律与实数一致，复阻抗的串并联规律也与实电阻一致。

  • 串联：Z=Z1+Z2Z = Z_1 + Z_2
  • 并联：Z=Z1Z2Z1+Z2Z = \dfrac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}

例：LC 振荡电路

没有外部电源，也就是说

U˙=I˙Z=I˙(jωL−jωC)=0\dot{U} = \dot{I}Z = \dot{I}\left(\mathrm{j}\omega L - \frac{\mathrm{j}}{\omega C}\right) = 0

即 ωL−1ωC=0\omega L - \dfrac{1}{\omega C} = 0，解得 ω=1LC\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}。

复功率

若电压和电流的相位差为 Δφ\Delta\varphi，可以根据积化和差公式计算功率：

ui=2Ucos⁡(ωt+Δφ)⋅2Icos⁡(ωt)=UI(cos⁡(2ωt+Δφ)+cos⁡Δφ)\begin{align*} ui &= \sqrt{2}U\cos(\omega t+\Delta\varphi) \cdot \sqrt{2}I\cos(\omega t) \\ &= UI\bigl( \cos(2\omega t+\Delta\varphi) + \cos\Delta\varphi \bigr) \end{align*}

可以看到，cos⁡(2ωt+Δφ)\cos(2\omega t+\Delta\varphi) 在时间上的均值为 00，于是平均功率

P=UIcos⁡ΔφP = UI \cos\Delta\varphi

设 I˙∗\dot{I}^* 是 I˙\dot{I} 的共轭，考虑 U˙I˙∗\dot{U}\dot{I}^* 的值：

U˙I˙∗=Uejφ1⋅Ie−jφ2=UIejΔφ\dot{U}\dot{I}^* = U\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_1} \cdot I\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\varphi_2} = UI \mathrm{e}^{\mathrm{j}\Delta\varphi}

设 U˙I˙∗=P+jQ\dot{U}\dot{I}^* = P+\mathrm{j}Q，可以看见实部 PP 恰好就是平均功率。

考虑 uiui 的范围 [P−P2+Q2,P+P2+Q2]\left[P - \sqrt{P^2+Q^2}, P + \sqrt{P^2+Q^2}\right]，可以发现 QQ 控制了振荡部分的大小。于是我们把 PP 称作有功功率，QQ 称作无功功率。

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