圆锥曲线之对偶圆锥曲线与锥线-直线位置关系

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2026-3-3

挖出了一种处理锥线-直线位置关系的新方法。

对偶圆锥曲线

对于一条圆锥曲线 $\Gamma$ 和基准圆锥曲线 $C$ （一般取单位圆 $x^2+y^2=z^2$ ）， $\Gamma$ 上的点关于 $C$ 的极线的包络 $\Gamma'$ 仍为圆锥曲线，称为 $\Gamma$ 的对偶圆锥曲线。

对于一个点 $P$ 和它关于 $C$ 的极线 $l$ ，根据点线对偶的规律，我们可以证明 $P\text{-}\Gamma$ 和 $l\text{-}\Gamma'$ 的位置关系一致。

定义

“内”对应的位置关系和焦点 / 准线一致。

取 $C: x^2+y^2=z^2$ ，则 $A x^2 + C y^2 + F z^2 = 0$ 的对偶圆锥曲线为 $\dfrac{1}{A} x^2 + \dfrac{1}{C} y^2 + \dfrac{1}{F} z^2 = 0$ 。

选取单位圆的好处不光是对偶圆锥曲线形式好记，而且齐次坐标为 $[X,Y,Z]$ 的点 $\left(\dfrac{X}{Z}, \dfrac{Y}{Z}\right)$ 的对偶刚好是齐次坐标一致的直线（ $Xx + Yy + Z = 0$ ）。

$\Delta' = \dfrac{1}{A} X^2 + \dfrac{1}{C} Y^2 + \dfrac{1}{F} Z^2$ 也叫 $A x^2 + C y^2 + F = 0$ 的等效判别式，因为它可以判定圆锥曲线与 $Xx + Yy + Z = 0$ 的位置关系。

以下是证明：

证明（高中方法）

将 $Xx + Yy + Z = 0$ 与 $A x^2 + C y^2 + F = 0$ 联立并消去 $y$ ，得到

A x^2 Y^2 + C \left(Z + Xx\right)^2 + F Y^2 = 0 \Longrightarrow \\ (AY^2 + CX^2) x^2 + 2CZXx + CZ^2+FY^2=0

于是

\begin{align*} \Delta &= 4(CZX)^2 - 4(AY^2 + CX^2)(CZ^2+FY^2) \\ &= -4(ACY^2Z^2 + CFX^2Y^2 + AFY^4) \\ &= -4ACFY^2 \left( \dfrac{1}{A} X^2 + \dfrac{1}{C} Y^2 + \dfrac{1}{F} Z^2 \right) \end{align*}

在同一条圆锥曲线中， $\Delta\Delta'$ 的符号总是一致的，至于是正是负，可以通过计算，也可以回到圆锥曲线的“内外”的意义来确定。

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