Phantom Bird

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低观点下的高等数学之搞笑放缩定理

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maths

2026-2-18

定理描述及证明

定理

若正项数列 {an},{bn}\{a_n\}, \{b_n\} 的前 nn 项和 {An},{Bn}\{A_n\}, \{B_n\} 和实数 A,BA,B 满足 An<A,Bn<BA_n<A, B_n<B，则对于任意 M>AM>A 存在 NN 使得

Sn=∑k=1n{ak,k≤N,bk,k>N.S_n = \sum_{k=1}^{n} \begin{cases} a_k, & k \le N, \\ b_k, & k > N. \end{cases}

满足 Sn<MS_n<M 恒成立。

证明

先证对于任意 ε>0\varepsilon>0，存在自然数 NN 使得对于任意 n>Nn > N 有 BN−Bn<εB_N - B_n < \varepsilon：

反证法，假设其不成立，即存在 ε>0\varepsilon>0 满足 ∀N∈N,∃n>N,Bn−BN≥ε\forall N \in \mathbb{N}, \exists n>N, B_n-B_N \ge \varepsilon，则可以找出 i1<i2<i3<⋯i_1<i_2<i_3 < \cdots 使得 ik+1−ik≥εi_{k+1} - i_{k} \ge \varepsilon，此时只需取 k≥Bεk \ge \dfrac{B}{\varepsilon} 即有 Bik+1−Bi1≥kε≥BB_{i_{k+1}} - B_{i_1} \ge k\varepsilon \ge B，矛盾。

回到原题，令 ε=M−A>0\varepsilon=M-A>0，存在 NN 使得 Sn=An−(An−AN)+(Bn−BN)<An+ε<MS_n = A_n - (A_n-A_N) + (B_n-B_N) < A_n + \varepsilon < M（显然只需讨论 n>Nn>N 的情形），证毕！

使用例

例 1

例

∑k=1n1k3\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3}

正经的做法，无非是调分母，凑裂项：

正经做法

1k3<1(k−1)k(k+1)=12(k−1)−1k+12(k+1)=12(k−1)k−12k(k+1)⟹∑k=1n1k3<1+∑k=2n1(k−1)k(k+1)=1+12×(2−1)×2−12n(n+1)<54\begin{align*} \frac{1}{k^3} &< \frac{1}{(k-1)k(k+1)} \\ &= \frac{1}{2(k-1)} - \frac{1}{k} + \frac{1}{2(k+1)} \\ &= \frac{1}{2(k-1)k} - \frac{1}{2k(k+1)} \\ \Longrightarrow \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3} &< 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} \\ &= 1+ \dfrac{1}{2 \times (2-1) \times 2} - \frac{1}{2n(n+1)} \\ &< \frac{5}{4} \end{align*}

为了达成搞笑的目的，让我们使用 1k3≤2k(k+1)\dfrac{1}{k^3} \le \dfrac{2}{k(k+1)} 的巨缝放缩证明 ∑k=1n1k3<32\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^3} < \dfrac{3}{2}：

∑k=161k3+∑k=7n(2k−2k+1)<∑k=161k3+27=247969168000<252000168000=32\sum_{k=1}^{6} \dfrac{1}{k^3} + \sum_{k=7}^{n} \left(\dfrac{2}{k} - \dfrac{2}{k+1}\right) < \sum_{k=1}^{6} \dfrac{1}{k^3} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{247969}{168000} < \dfrac{252000}{168000} = \dfrac{3}{2}

为什么不证 54\dfrac{5}{4} 呢？因为你将见识到地狱：

∑k=1411k3+∑k=42n(2k−2k+1)<∑k=1411k3+242=1313369421682832399346226897751896634861511743392341710512121660702378405316004964483761080879190528000000<54\sum_{k=1}^{41} \dfrac{1}{k^3} + \sum_{k=42}^{n} \left(\dfrac{2}{k} - \dfrac{2}{k+1}\right) < \sum_{k=1}^{41} \dfrac{1}{k^3} + \dfrac{2}{42} = \\ {\small\frac{13133694216828323993462268977518966348615117433923417}{ 10512121660702378405316004964483761080879190528000000} } < \frac{5}{4}

例 2

在 GooodPig 的强烈要求下，我们加入了第二个例子（但是暴力做法要估计的项数比他给的标答少？）

例（来自 GooodPig 的钓鱼试卷 P9）

设 τ(n)\tau(n) 为 nn 正因子的个数，证明

∑k=1nτ(k)2k<1.61\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{\tau(k)}{2^k} < 1.61

直接放缩占据大脑，爆算代替思考。磨平大脑地，有 τ(k)≤k\tau(k) \le k，

熟知 ∑k=N+1nk2k=N+22N−n+22n<N+22N\displaystyle\sum_{k=N+1}^{n} \dfrac{k}{2^k} = \dfrac{N+2}{2^N} - \dfrac{n+2}{2^n} < \dfrac{N+2}{2^N}，又注意到

∑k=112τ(k)2k+12+2212=10364<1.61\sum_{k=1}^{12} \frac{\tau(k)}{2^k} + \frac{12+2}{2^{12}} = \frac{1 03}{64} < 1.61

居然意外好看。

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