广东四校联考 19(3) 的优雅做法

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2026-2-12

广东四校联考 19(3)

已知 $k>0, f(x) = k \ln x - \sin(x+1) - 2x$ 有两零点 $x_1, x_2$ ，证明 $x_1 x_2 < k^2$ 。

证明

先证 $f(x)$ 在 $(k, +\infty)$ 单调递减：

x>k, f'(x) = \dfrac{k}{x} - \cos(x+1) - 2 < 1+1-2 = 0

若 $f(x)$ 没有 $> k$ 的零点，由 $x_1 \ne x_2$ 显然 $x_1 x_2 < k^2$ ；否则不妨设 $x_1 < k < x_2$ 。

构造函数 $g(x) = f(x) - f\left(\dfrac{k^2}{x}\right)$ ，则 $f\left(\dfrac{k^2}{x}\right)$ 在 $(k,+\infty)$ 单调递增，于是 $g(x)$ 在 $(k,+\infty)$ 单调递减。

又 $g(k) = 0$ ，故 $\forall x > k, g(x)<0$ ，则对于 $x < k$ 有 $f(x) > f\left(\dfrac{k^2}{x}\right)$ ，根据

f(x_2) = f(x_1) > f\left(\dfrac{k^2}{x_1}\right)

由单调性可知 $x_1 x_2 < k^2$ 。

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