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分部求和法 / Abel 变换

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mathsstudy-note

2026-2-8

心碎了，外面的规矩都是 ∑ 的结合性比 + 高吗

设 {Ai},{Bi}\{A_i\}, \{B_i\} 分别为 {ai},{bi}\{a_i\}, \{b_i\} 的前缀和，则

=∑i=1nAibi=∑i=1n∑j=1iajbi=∑j=1n∑i=jnajbi=∑j=1naj(Bn−Bj−1)=∑j=1najBn−∑j=1najBj−1=AnBn−∑i=1naiBi−1\begin{align*} &\mathrel{\phantom{=}} \sum_{i=1}^{n} A_i b_i \\ &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} a_j b_i \\ &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_j b_i \\ &= \sum_{j=1}^{n} a_j (B_n - B_{j-1}) \\ &= \sum_{j=1}^{n} a_j B_n - \sum_{j=1}^{n} a_j B_{j-1} \\ &= A_n B_n - \sum_{i=1}^{n} a_i B_{i-1} \end{align*}

注意下标的移位。

高中最常见的例子是所谓差乘比(ccb)：

∑i=1niqi=∑i=1n∑j=1iqi=∑j=1n∑i=jnqi=∑j=1nqn+1−qjq−1=nqn+1q−1−1q−1∑j=1nqj=nqn+1q−1−qn+1−q(q−1)2\begin{align*} \sum_{i=1}^{n} i q^i &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} q^i \\ &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} q^i \\ &= \sum_{j=1}^{n} \frac{q^{n+1} - q^{j}}{q-1} \\ &= \frac{nq^{n+1}}{q-1} - \frac{1}{q-1}\sum_{j=1}^{n} q^j \\ &= \frac{nq^{n+1}}{q-1} - \frac{q^{n+1} - q}{(q-1)^2} \end{align*}

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