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外观

三对合定理

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2026-4-24

如果不是我推出来告诉 CHh 之后，CHh 把它出到了某名校的期末钓鱼卷上，我大约是不会写这一篇的。

诸君同窗、列位学友，不是我害了你，是这个乱试害了你啊！

定理

三对合定理（高中圆锥曲线表述）

已知圆锥曲线 Γ\Gamma 上的四点 P,Q,R,SP, Q, R, S。若直线 PQ,QR,RSPQ, QR, RS 分别过定点 A,B,CA, B, C，则直线 SPSP 过定点的充要条件是 A,B,CA, B, C 三点共线。 并且，在该条件下，直线 SPSP 所过的定点也在这条直线上。

证明

1 圆锥曲线上动点参数化

在 Γ\Gamma 上取定一点 MM 作为参考点。对于 Γ\Gamma 上不同于 MM 的任意点 XX，我们用直线 MXMX 的斜率 xx 来参数化 XX。X=MX=M 时取 XX 处的切线；MXMX 竖直时允许斜率取无穷大，以下的代数运算均在扩展的实数系下理解。

下面我们给出经典二级结论：

引理 1

若直线 PQPQ 恒过定点 NN，则动点 P,QP, Q 的斜率参数 p,qp, q 之间存在如下关系：

存在不全为零的系数 α,β,γ\alpha, \beta, \gamma，使得 p,qp, q 满足

q=αp+βγp−αq = \frac{\alpha p + \beta}{\gamma p - \alpha}

我们在这里也允许无穷大，不妨同除以 α\alpha，表示为 q=p+β′γ′p−1q = \dfrac{p + \beta'}{\gamma' p - 1}。

2 定点参数空间

引理 2

对于引理 1 中由定点 NN 确定的参数变换关系 q=p+β′γ′p−1q = \dfrac{p + \beta'}{\gamma' p - 1}，我们定义 NN 的一个参数坐标：

f(N)=(β′,γ′)f(N) = (\beta', \gamma')

则 A,B,CA,B,C 共线当且仅当 f(A),f(B),f(C)f(A), f(B), f(C) 共线。

它的证明需要啰嗦一下。

在引理 1 的证明中，我们可以得到一个副产物：

β′=A11xN+A12yN+A13A31xN+A32yN+A33γ′=A21xN+A22yN+A23A31xN+A32yN+A33\beta' = \frac{A_{11} x_N + A_{12} y_N + A_{13}}{A_{31} x_N + A_{32} y_N + A_{33}} \\ \gamma' = \frac{A_{21} x_N + A_{22} y_N + A_{23}}{A_{31} x_N + A_{32} y_N + A_{33}}

接下来我们使用“升维”的引理：

:::引理 3

(x1z1,y1z1),(x2z2,y2z2),(x3z3,y3z3)共线  ⟺  空间向量(x1z1,y1z1,1),(x2z2,y2z2,1),(x3z3,y3z3,1)共面  ⟺  空间向量(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x2,y2,z2)共面\begin{aligned} \left(\dfrac{x_1}{z_1},\dfrac{y_1}{z_1}\right), \left(\dfrac{x_2}{z_2},\dfrac{y_2}{z_2}\right), \left(\dfrac{x_3}{z_3},\dfrac{y_3}{z_3}\right) \text{共线} &\iff \text{空间向量} \left(\dfrac{x_1}{z_1},\dfrac{y_1}{z_1},1\right), \left(\dfrac{x_2}{z_2},\dfrac{y_2}{z_2},1\right), \left(\dfrac{x_3}{z_3},\dfrac{y_3}{z_3},1\right) \text{共面} \\ & \iff \text{空间向量} \left(x_1,y_1,z_1\right), \left(x_2,y_2,z_2\right), \left(x_2,y_2,z_2\right) \text{共面} \end{aligned}

:::

根据基底的思想，从 (x,y,1)(x,y,1) 到 (β,γ,α)(\beta, \gamma, \alpha) 的变换相当于把基底从 i,j,k\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} 换成了 (A11,A12,A13),(A21,A22,A23),(A31,A32,A33)(A_{11}, A_{12}, A_{13}), (A_{21}, A_{22}, A_{23}), (A_{31}, A_{32}, A_{33})，而空间中基底的选取显然不会改变点的共面情况，自然也不会改变向量的共面情况。

3 从几何到代数的翻译

将定点 A,B,CA, B, C 分别对应于参数变换的系数，设

f(A)=(a,α),f(B)=(b,β),f(C)=(c,γ)f(A) = (a, \alpha), \quad f(B) = (b, \beta), \quad f(C) = (c, \gamma)

根据题设：

  • P,QP, Q 连线的定点是 A  ⟹  q=p+aαup−1A \implies q = \dfrac{p + a}{\alpha u p - 1}
  • Q,RQ, R 连线的定点是 B  ⟹  r=q+bβq−1B \implies r = \dfrac{q + b}{\beta q - 1}
  • R,SR, S 连线的定点是 C  ⟹  s=r+cγr−1C \implies s = \dfrac{r + c}{\gamma r - 1}

4 代数推导

代入并整理以上三式：

q=p+aαp−1r=q+bβq−1=p+aαp−1+bβp+aαp−1−1=(1+bα)p+(a−b)(β−α)p+(aβ+1)s=r+cγr−1=(1+bα)p+(a−b)(β−α)p+(aβ+1)+cγ(1+bα)p+(a−b)(β−α)p+(aβ+1)−1=[(1+bα)+c(β−α)]p+[(a−b)+c(aβ+1)][γ(1+bα)−(aβ+1)]p+[γ(a−b)−(aβ+1)]\begin{aligned} q &= \frac{p+a}{\alpha p-1} \\ r &= \frac{q+b}{\beta q-1} = \frac{\frac{p+a}{\alpha p-1}+b}{\beta \frac{p+a}{\alpha p-1}-1} = \frac{(1+b\alpha )p + (a-b)}{(\beta -\alpha )p + (a\beta +1)} \\ s &= \frac{r+c}{\gamma r-1} = \frac{\frac{(1+b\alpha )p + (a-b)}{(\beta -\alpha )p + (a\beta +1)}+c}{\gamma \frac{(1+b\alpha )p + (a-b)}{(\beta -\alpha )p + (a\beta +1)}-1} \\ &= \frac{\Bigl[ (1+b\alpha) + c(\beta-\alpha) \Bigr] p + \Bigl[ (a-b)+c(a \beta+1) \Bigr]}{\Bigl[ \gamma(1+b\alpha)-(a\beta+1) \Bigr] p + \Bigl[\gamma(a-b)-(a\beta+1)\Bigr]} \end{aligned}

与引理 1 的形式比对系数，得出 SPSP 过定点   ⟺  [(1+bα)+c(β−α)]+[γ(a−b)−(aβ+1)]=0\iff \Bigl[ (1+b\alpha) + c(\beta-\alpha) \Bigr] + \Bigl[\gamma(a-b)-(a\beta+1)\Bigr] = 0。

注意右式可整理成 aβ−bα=c(β−α)+γ(a−b)a\beta - b\alpha = c(\beta-\alpha) + \gamma(a-b)，即 (a,α),(b,β),(c,γ)(a, \alpha), (b, \beta), (c, \gamma) 共线，亦即 A,B,CA,B,C 共线。

定点与 A,B,CA,B,C 共线的证明留作习题，读者自证不难。

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