Phantom Bird

外观

(2n+1) 局 (n+1) 胜，赛越多场胜率越悬殊

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maths

2026-5-8

问题

两人比赛，每场比赛无平局，各场比赛独立且概率相等。不妨设甲强于乙，甲单场胜率为 p>12p > \dfrac{1}{2}。

在课本中，我们算得五局三胜中，甲的胜率比三局两胜更大。更一般地，若采用 (2n+1)(2n+1) 局 (n+1)(n+1) 胜制，甲的胜率是否是否会随 nn 递增？

问题

随机变量 Xn∼B(n,p), p∈(12,1]X_n \sim B(n,p),\ p\in\left(\dfrac{1}{2},1\right]，证明 {pn}:pn=P(X2n+1≥n+1)\{p_n\}: p_n=P(X_{2n+1}\ge n+1) 单调递增。

证明

证明

显然 P(S2n+1=1)=pn+1(1−p)nC2n+1n,P(S2n+1=−1)=pn(1−p)n+1C2n+1n+1P(S_{2n+1}=1) = p^{n+1}(1-p)^n\mathrm{C}_{2n+1}^{n}, P(S_{2n+1}=-1) = p^{n}(1-p)^{n+1}\mathrm{C}_{2n+1}^{n+1}，

设 Yn∼B(2,p)Y_n \sim B(2,p)，可知 X2n+1=X2n−1+YnX_{2n+1} = X_{2n-1}+Y_n 根据全概率公式有递推式

pn=P(X2n+1≥n+1)=P(X2n−1≥n+2)+P(S2n−1=n+1)P(Yn≥1)+P(S2n−1=n)P(Yn=0)\begin{align*} p_n &= P(X_{2n+1} \ge n+1) \\ &= P(X_{2n-1} \ge n+2) + P(S_{2n-1}=n+1) P(Y_n\ge 1) + P(S_{2n-1}=n)P(Y_n=0) \\ \end{align*}

于是

pn−pn−1=P(S2n−1=−1)P(Yn>0)−P(S2n−1=1)P(Yn<0)=pn+2(1−p)n+1C2n+1n−pn+1(1−p)n+2C2n+1n+1=(2p−1)pn+1(1−p)n+1C2n+1n>0\begin{aligned} p_n-p_{n-1} &= P(S_{2n-1}=-1)P(Y_n>0) - P(S_{2n-1}=1) P(Y_n<0) \\ &= p^{n+2}(1-p)^{n+1}\mathrm{C}_{2n+1}^{n} - p^{n+1}(1-p)^{n+2}\mathrm{C}_{2n+1}^{n+1} \\ &= (2p-1) p^{n+1}(1-p)^{n+1}\mathrm{C}_{2n+1}^{n} > 0 \end{aligned}

推广

既然 {pn}\{p_n\} 单调递增，又 {pn}\{p_n\} 有界，可知 {pn}\{p_n\} 收敛。那么，它收敛于何值？

直观上，根据大数定律，nn 充分大的时候，比赛 (2n+1)(2n+1) 场的获胜场数集中于 p(2n+1)p(2n+1) 附近，而它与 n+1n+1 的差距随 nn 无限增大，可以猜想 n→+∞n\to+\infty 时 pn→1p_n \to 1。

为了严谨、定量地描述大数定律，我们给出切比雪夫不等式：

切比雪夫不等式

已知 XX 为随机变量，且 k>0k>0，则有

P⁡(∣X−E⁡X∣≥k)≤D⁡(X)k2\operatorname{P}(|X-\operatorname{E}X| \ge k) \le \frac{\operatorname{D}(X)}{k^2}

证明

P⁡(∣X−E⁡X∣≥k)=∑i∈Ω{pi,(xi−E⁡X)2≥k2,0,otherwise≤∑i∈Ωpi(xi−E⁡X)2k2=D⁡(X)k2\begin{align*} \operatorname{P}(|X-\operatorname{E}X| \ge k) &= \sum_{i\in\Omega} \begin{cases} p_i, & (x_i-\operatorname{E}X)^2 \ge k^2, \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} \\ &\le \sum_{i\in\Omega} \frac{p_i (x_i-\operatorname{E}X)^2}{k^2} \\ &= \frac{\operatorname{D}(X)}{k^2} \end{align*}

回到原题，我们有

P(X2n+1≤n)≤P(∣X2n+1−E⁡X2n+1∣≥E⁡X2n+1−n)≤D⁡(X2n+1)(E⁡X2n+1−n)2=(2n+1)p(1−p)((2n+1)p−n)2=O(n−1)→n→+∞0\begin{align*} P(X_{2n+1} \le n) &\le P(|X_{2n+1}-\operatorname{E}X_{2n+1}|\ge \operatorname{E}X_{2n+1}-n) \\ &\le \frac{\operatorname{D}(X_{2n+1})}{(\operatorname{E}X_{2n+1}-n)^2} \\ &= \frac{(2n+1)p(1-p)}{((2n+1)p-n)^2} \\ &= O(n^{-1}) \xrightarrow{n \to +\infty} 0 \end{align*}

由夹逼定理，lim⁡n→+∞1−pn=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}1-p_n=0，从而 lim⁡n→+∞pn=1\displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=1。

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