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外观

反射容斥结论

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mathsOI

2026-5-6

定理

同时满足两条性质

  • {an}\{a_n\} 恰好包含 pp 个 11 和 qq 个 −1-1；
  • {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 {Sn}\{S_n\} 的每一项都落在 (−b,a)(-b,a) 内。

的数列的个数为

∑k∈Z[Cp+qp+k(a+b)−Cp+qp−a+k(a+b)]\sum_{k \in \mathbb{Z}} \Bigl[ \mathrm{C}_{p+q}^{p+k(a+b)} - \mathrm{C}_{p+q}^{p-a+k(a+b)} \Bigr]

或者

∑k=0a+b−1(1+ωk)p+q(ωk(a+b−p)−ωk(2a+b−p)),ω=e2πi/(a+b)\sum_{k=0}^{a+b-1} \left(1+\omega^k\right)^{p+q} \left(\omega^{k(a+b-p)}-\omega^{k(2a+b-p)}\right), \quad \omega=\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}/(a+b)}

证明见此，此处只是介绍一个 a+ba+b 较小时更好的形式。

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