设连续函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值与最小值之差为 $w(a,b)$，对于 $a_1 < \cdots < a_n < b_1 < \cdots b_n$，求证：

$$w(a_1, b_1) + w(a_2, b_2) + \cdots + w(a_n, b_n) \ge w(a_1, b_n) + w(a_2, b_{n-1}) + \cdots + w(a_n, b_1)$$