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T7T P19

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2026-3-11

已知 nn 项非负数列 {uk},{vk}\{u_k\}, \{v_k\}.

对于给定的正整数 l,b,w,hl,b,w,h 满足 1≤l<l+w−1≤n1\le l<l+w-1 \le n 且 1≤b<b+h−1≤n1\le b<b+h-1\le n, 若 mm 项整数数列 {xk},{yk}\{x_k\}, \{y_k\} 满足:

  • l≤xk≤l+w−1,b≤yk≤b+h−1l\le x_k\le l+w-1, b\le y_k\le b+h-1;
  • ∀i≠j,(xi,yi)≠(xj,yj)\forall i\ne j, (x_i,y_i) \ne (x_j, y_j);
  • ∣xk+1−xk∣+∣yk+1−yk∣=1|x_{k+1}-x_k| + |y_{k+1}-y_k| = 1;
  • ∣xm−x1∣+∣ym−y1∣=1|x_m-x_1| + |y_m-y_1| = 1.

则称数列对 ({xk},{yk})(\{x_k\}, \{y_k\}) 有性质 P(l,b,w,h)P(l,b,w,h).

记 M(l,b,w,h)M(l,b,w,h) 为在所有有性质 P(l,b,w,h)P(l,b,w,h) 的数列对 ({xk},{yk})(\{x_k\}, \{y_k\}) 中, ∑k=1muxkvyk\sum_{k=1}^{m} u_{x_k} v_{y_k} 的最大值.

记 S(l,b,w,h)=(∑k=ll+w−1uk)(∑k=bb+h−1vk)S(l,b,w,h) = \left(\sum_{k=l}^{l+w-1} u_k\right) \left(\sum_{k=b}^{b+h-1} v_k\right).

(1) 当 n=4n=4, {uk},{vk}\{u_k\}, \{v_k\} 的通项公式为 uk=vk=ku_k=v_k=k 时, 求 S(1,1,4,3)S(1,1,4,3) 和 M(1,1,4,3)M(1,1,4,3) 的值;

(2) 当 {uk},{vk}\{u_k\}, \{v_k\} 均为正项数列, hwhw 为奇数时, 证明: M(l,b,w,h)<S(l,b,w,h)M(l,b,w,h) < S(l,b,w,h);

(3) 当 uk,vk∈{0,1}u_k, v_k \in \{0,1\} 时, 若 M(l,b,w,h)=S(l,b,w,h)M(l,b,w,h)=S(l,b,w,h) 恒成立, 证明: ∑k=1n(uk+vk)≤5n+23\sum_{k=1}^{n} (u_k + v_k) \le \dfrac{5n+2}{3}.

解答

见 提瓦特大陆七国联考答案解析

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