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梦应归于何处 IV / FFMP Ex 13 (P)

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2026-4-17

已知 {xi}\{x_i\} 是一个长度为 2mn2mn，且任意两项不相等的数列。设 yi={xi+1,1≤i<2mnx1,i=2mny_i = \begin{cases} x_{i+1}, & 1 \le i < 2mn \\ x_1, & i=2mn \end{cases}，

若 1≤i<j≤2mn1 \le i < j \le 2mn 满足 ∃k∈N,j−i=2mk\exists k \in \mathbb{N}, j-i = 2mk 且 (xi−xj)(yi−yj)≥0(x_i-x_j)(y_i-y_j) \ge 0，则称数对 (i,j)(i,j) 是好的。设好的数对有 P(n,m)P(n,m) 个，证明：

n−14(n+(−1)m(4−n))≤P(n,m)≤n−12(mn−2)\frac{n-1}{4}\Bigl(n+(-1)^{m}\left(4-n\right)\Bigr) \le P(n,m) \le \frac{n-1}{2}(mn-2)

并证明对于任意 n,mn, m，都存在两个对应的 {xi}\{x_i\} 使不等式中的两个等号分别成立。

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